1. **Énoncé du problème :** Nous devons trouver l'expression de la transformée de Laplace $F(P)$ de la fonction $f(t)$ qui est composée de trois pics triangulaires identiques, chacun de base $2a$ et de hauteur 1, situés respectivement sur $[0,2a]$, $[4a,6a]$, et $[8a,10a]$. 2. **Formule de la transformée de Laplace :** La transformée de Laplace d'une fonction $f(t)$ est définie par $$F(P) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-Pt} dt$$ 3. **Expression de chaque triangle :** Chaque triangle est symétrique avec un sommet à $t=a$ (ou $5a$, ou $9a$) et une base de longueur $2a$. La fonction $f(t)$ sur $[0,2a]$ est : - Pour $0 \leq t \leq a$, $f(t) = \frac{t}{a}$ (montée linéaire) - Pour $a < t \leq 2a$, $f(t) = \frac{2a - t}{a}$ (descente linéaire) 4. **Transformée de Laplace du premier triangle :** $$F_1(P) = \int_0^a \frac{t}{a} e^{-Pt} dt + \int_a^{2a} \frac{2a - t}{a} e^{-Pt} dt$$ 5. **Calcul de la première intégrale :** $$I_1 = \frac{1}{a} \int_0^a t e^{-Pt} dt$$ Utilisons l'intégration par parties : Soit $u = t$, $dv = e^{-Pt} dt$, alors $du = dt$, $v = -\frac{1}{P} e^{-Pt}$. $$I_1 = \frac{1}{a} \left[ -\frac{t}{P} e^{-Pt} \Big|_0^a + \frac{1}{P} \int_0^a e^{-Pt} dt \right] = \frac{1}{a} \left( -\frac{a}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{P} \left[ -\frac{1}{P} e^{-Pt} \Big|_0^a \right] \right)$$ $$= \frac{1}{a} \left( -\frac{a}{P} e^{-Pa} - \frac{1}{P^2} (e^{-Pa} - 1) \right) = -\frac{e^{-Pa}}{P} - \frac{e^{-Pa} - 1}{a P^2}$$ 6. **Calcul de la deuxième intégrale :** $$I_2 = \frac{1}{a} \int_a^{2a} (2a - t) e^{-Pt} dt = \frac{1}{a} \left[ 2a \int_a^{2a} e^{-Pt} dt - \int_a^{2a} t e^{-Pt} dt \right]$$ Calculons chaque terme : $$\int_a^{2a} e^{-Pt} dt = \left[ -\frac{1}{P} e^{-Pt} \right]_a^{2a} = \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{P}$$ Pour $\int_a^{2a} t e^{-Pt} dt$, intégration par parties avec $u=t$, $dv=e^{-Pt} dt$ : $$= -\frac{t}{P} e^{-Pt} \Big|_a^{2a} + \frac{1}{P} \int_a^{2a} e^{-Pt} dt = -\frac{2a}{P} e^{-2Pa} + \frac{a}{P} e^{-Pa} + \frac{1}{P} \cdot \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{P}$$ $$= -\frac{2a}{P} e^{-2Pa} + \frac{a}{P} e^{-Pa} + \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{P^2}$$ Donc $$I_2 = \frac{1}{a} \left[ 2a \cdot \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{P} - \left( -\frac{2a}{P} e^{-2Pa} + \frac{a}{P} e^{-Pa} + \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{P^2} \right) \right]$$ $$= \frac{1}{a} \left[ \frac{2a}{P} (e^{-Pa} - e^{-2Pa}) + \frac{2a}{P} e^{-2Pa} - \frac{a}{P} e^{-Pa} - \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{P^2} \right]$$ $$= \frac{1}{a} \left[ \frac{a}{P} e^{-Pa} - \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{P^2} \right] = \frac{e^{-Pa}}{P} - \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{a P^2}$$ 7. **Somme des deux intégrales pour le premier triangle :** $$F_1(P) = I_1 + I_2 = \left(-\frac{e^{-Pa}}{P} - \frac{e^{-Pa} - 1}{a P^2}\right) + \left( \frac{e^{-Pa}}{P} - \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{a P^2} \right) = - \frac{e^{-Pa} - 1}{a P^2} - \frac{e^{-Pa} - e^{-2Pa}}{a P^2}$$ $$= \frac{1 - 2 e^{-Pa} + e^{-2Pa}}{a P^2} = \frac{(1 - e^{-Pa})^2}{a P^2}$$ 8. **Transformée de Laplace totale :** La fonction $f(t)$ est la somme de trois triangles décalés de $0$, $4a$, et $8a$. La transformée de Laplace d'une fonction décalée $f(t - t_0) u(t - t_0)$ est $e^{-P t_0} F(P)$. Donc $$F(P) = F_1(P) \left(1 + e^{-4aP} + e^{-8aP} \right) = \frac{(1 - e^{-Pa})^2}{a P^2} \left(1 + e^{-4aP} + e^{-8aP} \right)$$ **Réponse finale :** $$\boxed{F(P) = \frac{(1 - e^{-Pa})^2}{a P^2} \left(1 + e^{-4aP} + e^{-8aP} \right)}$$