1. Énonçons le problème : Étudier le domaine de définition, résoudre des équations et inéquations impliquant la fonction logarithme népérien $\ln(x)$.\n\n2. Rappel important : La fonction $\ln(x)$ est définie uniquement pour $x>0$. Cela signifie que toute expression à l'intérieur du $\ln$ doit être strictement positive.\n\n3. Exemple 1 : Trouver le domaine de définition de $f(x) = \ln(2x-3)$.\n- On impose $2x-3 > 0$.\n- Résolvons l'inéquation :\n$$2x - 3 > 0$$\n$$2x > 3$$\n$$x > \cancel{\frac{3}{2}}^{\text{pas de simplification}}$$\n- Donc, le domaine est $\{x \in \mathbb{R} \mid x > \frac{3}{2}\}$.\n\n4. Exemple 2 : Résoudre l'équation $\ln(x) = 1$.\n- On utilise la définition inverse du logarithme : $\ln(x) = 1 \iff x = e^1 = e$.\n- Vérifions que $x=e > 0$, donc solution valide.\n- Solution : $x = e$.\n\n5. Exemple 3 : Résoudre l'inéquation $\ln(x-1) < 2$.\n- Domaine : $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.\n- Résolvons l'inéquation :\n$$\ln(x-1) < 2$$\n$$x-1 < e^2$$\n$$x < e^2 + 1$$\n- En combinant avec le domaine, on obtient : $1 < x < e^2 + 1$.\n\n6. Résumé :\n- Toujours vérifier le domaine de définition en imposant l'argument du $\ln$ strictement positif.\n- Pour résoudre $\ln(f(x)) = a$, on écrit $f(x) = e^a$.\n- Pour $\ln(f(x)) < a$, on écrit $f(x) < e^a$ en respectant le domaine.\n\nCes étapes permettent de bien comprendre et résoudre les problèmes liés à la fonction $\ln$.