1. Énonçons le problème : Nous avons deux fonctions logarithmiques $f$ et $g$ qui partagent la même asymptote verticale. 2. La fonction $f$ est donnée par la règle : $$f(x) = 10 \log_4 (-(x - h))$$ 3. On sait que $f$ passe par le point $(1,1)$, donc : $$1 = 10 \log_4 (-(1 - h)) = 10 \log_4 (-(1 - h))$$ 4. Simplifions pour trouver $h$ : Divisons par 10 : $$\frac{1}{10} = \log_4 (-(1 - h))$$ 5. Convertissons la forme logarithmique en exponentielle : $$-(1 - h) = 4^{\frac{1}{10}}$$ 6. Résolvons pour $h$ : $$-(1 - h) = 4^{0.1}$$ $$-1 + h = 4^{0.1}$$ $$h = 1 + 4^{0.1}$$ 7. Calculons $4^{0.1}$ (racine dixième de 4) : $$4^{0.1} \approx 1.1487$$ 8. Donc : $$h \approx 1 + 1.1487 = 2.1487$$ 9. L'asymptote verticale est donc la droite $x = h \approx 2.1487$. 10. La fonction $g$ a la même asymptote, donc sa règle est de la forme : $$g(x) = a \log_4 (x - h)$$ 11. On sait que $g$ passe par les points $(7,1)$ et $(9,2)$. 12. Utilisons le point $(7,1)$ : $$1 = a \log_4 (7 - h)$$ 13. Utilisons le point $(9,2)$ : $$2 = a \log_4 (9 - h)$$ 14. Divisons la deuxième équation par la première pour éliminer $a$ : $$\frac{2}{1} = \frac{a \log_4 (9 - h)}{a \log_4 (7 - h)} = \frac{\log_4 (9 - h)}{\log_4 (7 - h)}$$ 15. Donc : $$2 = \frac{\log_4 (9 - h)}{\log_4 (7 - h)}$$ 16. Multiplions : $$2 \log_4 (7 - h) = \log_4 (9 - h)$$ 17. Convertissons en exponentielle : $$4^{2 \log_4 (7 - h)} = 4^{\log_4 (9 - h)}$$ 18. Simplifions : $$\left(4^{\log_4 (7 - h)}\right)^2 = 9 - h$$ 19. Or $4^{\log_4 (x)} = x$, donc : $$ (7 - h)^2 = 9 - h$$ 20. Développons : $$49 - 14h + h^2 = 9 - h$$ 21. Regroupons tous les termes : $$h^2 - 14h + h + 49 - 9 = 0$$ $$h^2 - 13h + 40 = 0$$ 22. Résolvons l'équation quadratique : $$h = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \times 1 \times 40}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2} = \frac{13 \pm 3}{2}$$ 23. Deux solutions : $$h_1 = \frac{13 + 3}{2} = 8$$ $$h_2 = \frac{13 - 3}{2} = 5$$ 24. Comme l'asymptote $x = h$ doit être la même que pour $f$, et $h \approx 2.1487$ pour $f$, aucune de ces valeurs ne correspond. 25. Cela signifie que la forme de $g$ doit être ajustée pour que l'asymptote soit $x = h \approx 2.1487$. 26. Posons donc $g(x) = a \log_4 (x - h)$ avec $h = 2.1487$. 27. Utilisons les points pour trouver $a$ : Pour $(7,1)$ : $$1 = a \log_4 (7 - 2.1487) = a \log_4 (4.8513)$$ 28. Calculons $\log_4 (4.8513)$ : $$\log_4 (4.8513) = \frac{\ln 4.8513}{\ln 4} \approx \frac{1.579}{1.386} = 1.139$$ 29. Donc : $$1 = a \times 1.139 \Rightarrow a = \frac{1}{1.139} \approx 0.878$$ 30. Vérifions avec $(9,2)$ : $$g(9) = 0.878 \times \log_4 (9 - 2.1487) = 0.878 \times \log_4 (6.8513)$$ 31. Calculons $\log_4 (6.8513)$ : $$\log_4 (6.8513) = \frac{\ln 6.8513}{\ln 4} \approx \frac{1.925}{1.386} = 1.389$$ 32. Donc : $$g(9) \approx 0.878 \times 1.389 = 1.219$$ 33. Ce n'est pas égal à 2, donc $g$ n'est pas exactement de cette forme simple. 34. Conclusion : La fonction $g$ a la même asymptote $x = h \approx 2.1487$ que $f$. La règle de $g$ est de la forme : $$g(x) = a \log_4 (x - h) + k$$ 35. Pour déterminer $a$ et $k$, il faut résoudre le système : $$\begin{cases} 1 = a \log_4 (7 - h) + k \\ 2 = a \log_4 (9 - h) + k \end{cases}$$ 36. Soustrayons la première équation de la deuxième : $$2 - 1 = a (\log_4 (9 - h) - \log_4 (7 - h))$$ $$1 = a \log_4 \left(\frac{9 - h}{7 - h}\right)$$ 37. Calculons : $$\frac{9 - 2.1487}{7 - 2.1487} = \frac{6.8513}{4.8513} \approx 1.412$$ 38. Donc : $$1 = a \log_4 (1.412) = a \times \frac{\ln 1.412}{\ln 4} = a \times \frac{0.345}{1.386} = a \times 0.249$$ 39. D'où : $$a = \frac{1}{0.249} \approx 4.016$$ 40. Trouvons $k$ avec la première équation : $$1 = 4.016 \times 1.139 + k$$ $$k = 1 - 4.016 \times 1.139 = 1 - 4.574 = -3.574$$ 41. La règle finale de $g$ est : $$g(x) = 4.016 \log_4 (x - 2.1487) - 3.574$$ **Réponse finale :** $$\boxed{g(x) = 4.016 \log_4 (x - 2.1487) - 3.574}$$ Cela respecte la même asymptote que $f$ et passe par les points donnés.