1. Énonçons le problème : Comprendre les fonctions logarithmes népériens, leur définition, propriétés et applications. 2. Définition : Le logarithme népérien d'un nombre $x > 0$ est noté $\ln(x)$ et est défini comme l'inverse de la fonction exponentielle $e^x$. 3. Formule fondamentale : $$\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln(x)} = x$$ 4. Propriétés importantes : - $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ - $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ - $\ln(a^n) = n \ln(a)$ 5. Exemple d'application : Calculer $\ln(\sqrt{e^3})$. 6. Calcul intermédiaire : $$\ln(\sqrt{e^3}) = \ln\left(e^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{3}{2} \ln(e) = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$$ 7. Conclusion : Le logarithme népérien est une fonction clé en mathématiques, notamment en analyse et en résolution d'équations exponentielles.