1. **Énoncé du problème :** Nous allons récapituler les notions essentielles sur les nombres complexes vues en terminale spécialité maths expert. 2. **Définition :** Un nombre complexe $z$ s'écrit sous la forme $z = a + bi$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i$ est l'unité imaginaire telle que $i^2 = -1$. 3. **Forme algébrique :** $z = a + bi$ avec $a = \text{partie réelle}$ et $b = \text{partie imaginaire}$. 4. **Conjugué :** Le conjugué de $z$ est $\overline{z} = a - bi$. 5. **Module :** Le module de $z$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, il représente la distance à l'origine dans le plan complexe. 6. **Argument :** L'argument $\theta$ de $z$ est l'angle entre l'axe réel et la droite joignant l'origine à $z$, donné par $\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ (en tenant compte du quadrant). 7. **Forme trigonométrique :** $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$. 8. **Forme exponentielle :** $z = |z| e^{i \theta}$ (formule d'Euler). 9. **Opérations :** - Addition : $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$ - Multiplication : $(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ - Division : $\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c - di)}{c^2 + d^2}$ 10. **Propriétés importantes :** - $|z w| = |z| |w|$ - $\arg(z w) = \arg(z) + \arg(w)$ - $|\overline{z}| = |z|$ - $z \overline{z} = |z|^2$ 11. **Racines n-ièmes de l'unité :** Les solutions de $z^n = 1$ sont données par $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ pour $k=0,1,...,n-1$. Ce résumé couvre les bases des nombres complexes en terminale maths expert.