1. **Énoncé du problème :** Un particulier installe 20 m² de panneaux solaires le 1er janvier 2020. Chaque m² produit 100 kWh la première année. Le rendement baisse de 5 % chaque année suivante. On note $u_n$ la quantité d'énergie produite durant l'année $2020+n$. 2. **Formule et explications :** La production pour 1 m² la première année est $100$ kWh. La production diminue de 5 % par an, donc chaque année la production est multipliée par $0{,}95$. Pour $n \geq 0$, la production par m² est donc : $$u_n = 100 \times 0{,}95^n$$ La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=0{,}95$ et de premier terme $u_0=100$. 3. **Calculs pour 20 m² :** La production totale pour 20 m² est : $$U_n = 20 \times u_n = 20 \times 100 \times 0{,}95^n = 2000 \times 0{,}95^n$$ 4. **Vérification des propositions :** - La suite $(u_n)$ est géométrique : **Vrai**. - La quantité produite en 2020 ($n=0$) est : $$u_0 = 100 \times 0{,}95^0 = 100$$ Donc pour 20 m² : $$U_0 = 2000 \times 1 = 2000 \text{ kWh}$$ La proposition "100 kWh" est fausse pour l'installation entière, mais vraie pour 1 m². - La quantité produite en 2021 ($n=1$) pour 1 m² est : $$u_1 = 100 \times 0{,}95 = 95$$ Pour 20 m² : $$U_1 = 2000 \times 0{,}95 = 1900 \text{ kWh}$$ Donc 95 kWh est vrai pour 1 m², faux pour l'installation entière. - La quantité produite pendant les deux premières années pour 20 m² est : $$U_0 + U_1 = 2000 + 1900 = 3900 \text{ kWh}$$ Donc cette proposition est correcte. **Réponses correctes :** - La suite $(u_n)$ est géométrique. - La quantité produite pendant les deux premières années est d'environ 3900 kWh (pour 20 m²).