1. Énoncé du problème. Nous avons un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ et deux points $P,Q$ vérifiant $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AC}$. 2. Rappels et formules utiles. Pour des vecteurs inconnus $\mathbf{u},\mathbf{v}$, la résolution du système $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{p}$ et $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{q}$ se fait en additionnant et en soustrayant les équations. On utilisera aussi que si $O$ est le centre du parallélogramme alors $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. 3. Problème 1, 1.a) Construction et figure. On place un parallélogramme $ABCD$ avec $A$ en bas à gauche, $B$ à droite de $A$, $D$ au dessus de $A$ et $C$ le sommet opposé en haut à droite. Le point $O$ est le centre, intersection des diagonales $AC$ et $BD$. 4. Problème 1, 1.b) Construction de $P$ et $Q$ par calcul vectoriel. Posons $\mathbf{u}=\overrightarrow{AP}$ et $\mathbf{v}=\overrightarrow{AQ}$. On a le système suivant. $$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}$$ $$\mathbf{u}-\mathbf{v}=\overrightarrow{AC}$$ En additionnant les deux égalités on obtient la relation suivante. $$2\mathbf{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$ Pour obtenir $\mathbf{u}$ on divise par 2 et on montre l'annulation explicite. $$\frac{2\mathbf{u}}{\cancel{2}}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{\cancel{2}}\Rightarrow \mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$$ En soustrayant les deux égalités on obtient la relation pour $\mathbf{v}$. $$2\mathbf{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$$ On divise par 2 en écrivant la ligne de simplification. $$\frac{2\mathbf{v}}{\cancel{2}}=\frac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}{\cancel{2}}\Rightarrow \mathbf{v}=\frac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}{2}$$ Ainsi on construit $P$ en prenant $\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$ et $Q$ en prenant $\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}{2}$. 5. Problème 1, 1.c) Montrer que $B,P,C$ sont alignés. Remarquons que le point milieu $M_{BC}$ de $[BC]$ vérifie $\overrightarrow{AM_{BC}}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$. Or nous avons montré que $\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$. Donc $P$ coïncide avec le milieu de $[BC]$. Par conséquent $B,P,C$ sont alignés. 6. Problème 1, 2) Calcul de $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$. Comme $O$ est le centre du parallélogramme on a $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$. De même $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. En additionnant ces deux égalités on obtient. $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$$ 7. Problème 1, 3.a) Identité pour tout point $M$. On utilise l'égalité de décomposition des vecteurs par rapport à $O$. Pour tout point $M$ on a $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}$. On en déduit en sommant sur les quatre sommets. $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\bigl(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\bigr)$$ Comme la parenthèse vaut $\overrightarrow{0}$ d'après la question précédente on obtient. $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$$ 8. Problème 1, 3.b) Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{BD}$. D'après la formule précédente l'égalité équivaut à $4\overrightarrow{MO}=2\overrightarrow{BD}$. On simplifie en divisant par 2 puis par 4 et on affiche les annulations. $$4\overrightarrow{MO}=2\overrightarrow{BD}$$ $$\frac{4\overrightarrow{MO}}{\cancel{2}}=\frac{2\overrightarrow{BD}}{\cancel{2}}\Rightarrow 2\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{BD}$$ $$\frac{2\overrightarrow{MO}}{\cancel{2}}=\frac{\overrightarrow{BD}}{\cancel{2}}\Rightarrow \overrightarrow{MO}=\frac{\overrightarrow{BD}}{2}$$ Ainsi il existe un unique point $M$ tel que $\overrightarrow{MO}=\dfrac{\overrightarrow{BD}}{2}$. En d'autres termes $M$ est le point obtenu en partant de $O$ par le vecteur $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ et l'ensemble recherché est le singleton formé de ce point. 9. Problème 2, 4) Domaine de définition $D$ de $f$. La fonction $f$ est rationnelle $f(x)=\dfrac{2x^{2}-7x+2}{1-x}$ et le dénominateur s'annule pour $x=1$. Donc le domaine est $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$. 10. Problème 2, 5) Décomposition de $f(x)$ sous la forme $ax+b+\dfrac{c}{1-x}$. On effectue la division euclidienne du polynôme $2x^{2}-7x+2$ par $1-x$ en écrivant l'identité suivante. $$2x^{2}-7x+2=(1-x)(-2x+5)-3$$ On en déduit la décomposition. $$\frac{2x^{2}-7x+2}{1-x}=\frac{(1-x)(-2x+5)-3}{1-x}= -2x+5-\frac{3}{1-x}$$ Pour expliciter la simplification on montre la ligne avec annulation du facteur $(1-x)$. $$\frac{(1-x)(-2x+5)}{\cancel{(1-x)}}-\frac{3}{1-x}= -2x+5-\frac{3}{1-x}$$ On obtient donc, pour $x\neq 1$, la forme demandée avec $a=-2$, $b=5$ et $c=-3$. 11. Problème 2, 6) Résolution de l'inéquation $f(x)<-2x+5$. En utilisant la décomposition on écrit pour $x\neq 1$. $$f(x)=-2x+5-\frac{3}{1-x}$$ L'inéquation devient donc. $$-2x+5-\frac{3}{1-x}<-2x+5$$ En simplifiant (on soustrait $-2x+5$ des deux membres) on obtient. $$-\frac{3}{1-x}<0$$ On multiplie par $-1$ et on inverse le sens de l'inégalité. $$\frac{3}{1-x}>0$$ En divisant par $3>0$ on peut annuler le scalaire en montrant la simplification. $$\frac{\cancel{3}}{\cancel{3}(1-x)}>0\Rightarrow \frac{1}{1-x}>0$$ L'inégalité $\dfrac{1}{1-x}>0$ signifie que $1-x>0$ car le numérateur est positif. Donc $x<1$. Enfin en tenant compte du domaine $x\neq 1$ on obtient l'ensemble solution. $$\{x\in\mathbb{R}\mid x<1\}=]-\infty;1[\,.$$ 12. Problème 3, 7) Justification que $g$ est une application. La fonction $g$ est définie par $g(x)=\sqrt{5-x}$ pour $x\in]-\infty;5]$. Pour tout $x$ dans le domaine l'expression sous la racine $5-x$ est $\geq 0$ et la racine carrée renvoie une valeur réelle unique et positive. Donc $g$ est bien une application de $]-\infty;5]$ dans $[0;+ fty[$. 13. Problème 3, 8) Bijectivité et bijection réciproque $g^{-1}$. La fonction $g$ est strictement décroissante sur son domaine car $\sqrt{5-x}$ décroît quand $x$ croît. De plus son image est exactement $[0;+ fty[$ puisque pour tout $y\geq 0$ on peut résoudre $y=\sqrt{5-x}$ ce qui donne $x=5-y^{2}$ et $5-y^{2}\leq 5$ donc $x\in]-\infty;5]$. Ainsi $g$ est bijective. L'inverse $g^{-1}: [0;+ fty[\to ]-\infty;5]$ est donné pour $y\geq 0$ par. $$g^{-1}(y)=5-y^{2}$$ 14. Problème 3, 9) Nombre de gibiers à rapporter, calcul de $g^{-1}(1)$. On calcule directement l'inverse en $1$. $$g^{-1}(1)=5-1^{2}=4$$ Donc le nombre de gibiers prédit est $4$. 15. Résumé des résultats finaux. 1.a-b-c: figure construite, $P$ est le milieu de $[BC]$, $Q$ construit par $\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}{2}$ et $B,P,C$ alignés. 1.2: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. 1.3.a: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$ pour tout $M$. 1.3.b: ensemble des $M$ tel que la somme vaut $2\overrightarrow{BD}$ est un singleton donné par $\overrightarrow{MO}=\dfrac{\overrightarrow{BD}}{2}$. 2.4: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$. 2.5: $f(x)=-2x+5-\dfrac{3}{1-x}$ donc $a=-2$, $b=5$, $c=-3$. 2.6: solution de l'inéquation $f(x)<-2x+5$ est $]-\infty;1[$. 3.7-8: $g$ est bijective et $g^{-1}(y)=5-y^{2}$ pour $y\in[0;+ fty[$. 3.9: $g^{-1}(1)=4$ gibiers.