1. Énoncé du problème. Je rappelle succinctement les données: la zone de chasse est un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$, les points $P$ et $Q$ vérifient $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AC}$, la fonction $f$ est $f(x)=\dfrac{2x^{2}-7x+2}{1-x}$ et $g:]-\infty;5]\to[0; +\infty[\,,\ x\mapsto\sqrt{5-x}$. 2. 1.a) Construction et figure. Place un parallélogramme $ABCD$ en position classique avec $A$ en bas à gauche, $B$ en bas à droite, $C$ en haut à droite et $D$ en haut à gauche. Trace les diagonales $AC$ et $BD$ qui se coupent en leur milieu en $O$; $O$ est le centre du parallélogramme. Cette description suffit pour la figure demandée; $O$ est le point d'intersection des diagonales. 3. 1.b) Construction des points $P$ et $Q$ à partir des relations vectorielles. On part des deux égalités données en vecteurs et on les résout par combinaison linéaire. Additionnons les deux égalités pour obtenir $2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Ainsi on a la formule affichée suivante en display math: $$2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$ D'où: $$\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\bigr).$$ En soustrayant les deux égalités on obtient $2\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Ainsi: $$\overrightarrow{AQ}=\tfrac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\bigr).$$ Ces formules permettent de construire $P$ et $Q$ graphiquement à partir de $A,B,C$. 4. 1.c) Démonstration que $B,P,C$ sont alignés. On remarque que le vecteur $\overrightarrow{AM}=\tfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ est le vecteur allant de $A$ vers le milieu $M$ du segment $[BC]$. Or on a montré que $\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Par conséquent $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}$, donc $P\equiv M$ et $P$ est le milieu de $[BC]$. Donc $B,P,C$ sont alignés. 5. 2) Démonstration de $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Comme $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$ on a $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$. De même, $O$ est le milieu de $[BD]$ donc $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. En additionnant ces deux égalités on obtient la relation cherchée: $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}.$$ 6. 3.a) Pour tout point $M$ du plan, preuve que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\,\overrightarrow{MO}$. Pour un point quelconque $M$ on a la décomposition vectorielle $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}$, et de même pour $B,C,D$. Ainsi la somme vaut: $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\,\overrightarrow{MO}+\bigl(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\bigr).$$ Or on a montré que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Donc la somme vaut $4\,\overrightarrow{MO}$, ce qui achève la démonstration. 7. 3.b) Détermination de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\,\overrightarrow{BD}$. D'après le résultat précédent on a $4\,\overrightarrow{MO}=2\,\overrightarrow{BD}$. En simplifiant on obtient: $$\overrightarrow{MO}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BD}.$$ Ceci fixe $\overrightarrow{MO}$ comme un vecteur constant; il existe donc un seul point $M$ vérifiant cette condition. On peut exprimer $M$ par $\overrightarrow{OM}=-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BD}$ et donc $M$ est le point obtenu en déplaçant $O$ de $-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BD}$. L'ensemble des points solutions est donc l'unique point $M$ tel que $\overrightarrow{MO}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BD}$. 8. 4) Ensemble de définition $D$ de la fonction $f$. La fonction $f$ est rationnelle et le dénominateur $1-x$ ne doit pas s'annuler. Donc $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$. 9. 5) Décomposition de $f(x)$ sous la forme $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{1-x}$ pour $x\neq1$. On effectue la division euclidienne du polynôme numérateur par $x-1$ ou on cherche l'identité algébrique. On calcule d'abord la division: pour $x\neq1$ on a $$2x^{2}-7x+2=(x-1)(2x-5)-3.$$ Donc $$f(x)=\dfrac{(x-1)(2x-5)-3}{1-x}.$$ En utilisant $x-1=-(1-x)$ on écrit: $$f(x)=\dfrac{- (1-x)(2x-5)-3}{1-x}.$$ On simplifie maintenant le facteur commun $1-x$ en affichant la ligne de simplification avec \cancel{...} comme demandé: $$f(x)=\dfrac{-\cancel{(1-x)}(2x-5)-3}{\cancel{1-x}}.$$ Après simplification on obtient: $$f(x)=-(2x-5)-\dfrac{3}{1-x}$$ et donc $$f(x)=-2x+5-\dfrac{3}{1-x}.$$ Par identification on a $a=-2$, $b=5$ et $c=-3$. 10. 6) Résolution de l'inéquation $f(x)<-2x+5$ dans $\mathbb{R}$. On utilise la décomposition trouvée pour simplifier l'inéquation. Pour $x\neq1$ on a $f(x)=-2x+5-\dfrac{3}{1-x}$, donc l'inéquation devient $$-2x+5-\dfrac{3}{1-x}<-2x+5.$$ En simplifiant les termes identiques on obtient $$-\dfrac{3}{1-x}<0.$$ On affiche une étape de simplification avec \cancel{...} lors de la division par -3 comme exigé: $$-\dfrac{3}{1-x}<0\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{\cancel{-3}}{1-x}<0\ \Longrightarrow\ \dfrac{\cancel{3}}{1-x}>0.$$ Ainsi $\dfrac{1}{1-x}>0$, ce qui équivaut à $1-x>0$ et donc $x<1$. En tenant compte de la définition de $f$ (exclusion de $x=1$) l'ensemble solution est $$\,]-\infty,1[\,.$$ 11. 7) Justification que $g$ est une application. La formule $g(x)=\sqrt{5-x}$ associe à chaque $x$ de $]-\infty;5]$ une valeur réelle non négative car $5-x\ge0$ pour $x\le5$. Donc pour tout $x$ du domaine il existe une unique image réelle $g(x)$, donc $g$ est bien une application de $]-\infty;5]$ vers $[0,+\infty[$. 12. 8) Bijectivité de $g$ et bijection réciproque $g^{-1}$, puis 9) calcul de $g^{-1}(1)$. Montrons l'injectivité: si $g(x_{1})=g(x_{2})$ alors $\sqrt{5-x_{1}}=\sqrt{5-x_{2}}$ et en élevant au carré on obtient $5-x_{1}=5-x_{2}$ d'où $x_{1}=x_{2}$. Montrons la surjectivité sur $[0,+\infty[$: pour tout $y\ge0$ posons $x=5-y^{2}$; alors $x\le5$ et $g(x)=\sqrt{5-(5-y^{2})}=\sqrt{y^{2}}=y$ car $y\ge0$. Ainsi $g$ est bijective et son inverse est donnée pour $y\in[0,+\infty[$ par $$g^{-1}(y)=5-y^{2}.$$ En particulier, pour $y=1$ on obtient $$g^{-1}(1)=5-1^{2}=4.$$ Donc le nombre de gibiers à rapporter est 4. Réponses finales succinctes: 1.a Figure: parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ avec diagonales se coupant en $O$. 1.b $\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ et $\overrightarrow{AQ}=\tfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$. 1.c $P$ est le milieu de $[BC]$, donc $B,P,C$ alignés. 2 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. 3.a $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\,\overrightarrow{MO}$ pour tout $M$. 3.b Unique $M$ tel que $\overrightarrow{MO}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BD}$. 4 $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$. 5 $f(x)=-2x+5-\dfrac{3}{1-x}$ donc $a=-2$, $b=5$, $c=-3$. 6 Solution de l'inéquation: $]-\infty,1[$. 7 $g$ est bien une application de $]-\infty;5]$ vers $[0,+\infty[$. 8 $g$ est bijective et $g^{-1}(y)=5-y^{2}$ pour $y\ge0$. 9 Nombre de gibiers $g^{-1}(1)=4$.