1. **Énoncé du problème :** Modéliser la profondeur d'eau $p(t)$ sous la bouée en fonction du temps $t$ en secondes. 2. **Données importantes :** - Profondeur maximale (position la plus élevée) : 5,25 m - Profondeur minimale (position la plus basse) : 3,75 m - Période du mouvement (temps pour revenir à la position basse) : 6 s - À $t=2$ s, la bouée est en position d'équilibre et se déplace vers le bas. 3. **Formule utilisée :** Le mouvement est périodique et peut être modélisé par une fonction sinusoïdale : $$p(t) = A \sin(\omega (t - \phi)) + D$$ avec : - $A$ l'amplitude - $\omega$ la pulsation (en radians par seconde) - $\phi$ le décalage de phase - $D$ la valeur moyenne (position d'équilibre) 4. **Calcul de l'amplitude $A$ :** $$A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2} = \frac{5,25 - 3,75}{2} = \frac{1,5}{2} = 0,75$$ 5. **Calcul de la valeur moyenne $D$ :** $$D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} = \frac{5,25 + 3,75}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$$ 6. **Calcul de la pulsation $\omega$ :** La période $T = 6$ s, donc $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$ 7. **Détermination du décalage de phase $\phi$ :** À $t=2$ s, la bouée est à la position d'équilibre $p=4,5$ m et se déplace vers le bas, donc la dérivée est négative. La fonction sinus vaut zéro à l'équilibre, donc : $$p(2) = A \sin\left(\frac{\pi}{3}(2 - \phi)\right) + D = 4,5$$ $$\Rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{3}(2 - \phi)\right) = 0$$ Les solutions de $\sin x = 0$ sont $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Posons : $$\frac{\pi}{3}(2 - \phi) = k\pi \Rightarrow 2 - \phi = 3k \Rightarrow \phi = 2 - 3k$$ Pour $k=0$, $\phi=2$. 8. **Vérification du sens du mouvement (dérivée) :** La dérivée est : $$p'(t) = A \omega \cos\left(\omega (t - \phi)\right)$$ À $t=2$ : $$p'(2) = 0,75 \times \frac{\pi}{3} \times \cos\left(\frac{\pi}{3}(2 - 2)\right) = 0,75 \times \frac{\pi}{3} \times \cos(0) = 0,75 \times \frac{\pi}{3} \times 1 > 0$$ Le signe est positif, or la bouée descend donc la dérivée doit être négative. Pour que la dérivée soit négative, on peut choisir $k=1$ : $$\phi = 2 - 3 = -1$$ Alors : $$p'(2) = 0,75 \times \frac{\pi}{3} \times \cos\left(\frac{\pi}{3}(2 - (-1))\right) = 0,75 \times \frac{\pi}{3} \times \cos(\pi) = 0,75 \times \frac{\pi}{3} \times (-1) < 0$$ Ce qui correspond au mouvement vers le bas. 9. **Formule finale :** $$p(t) = 0,75 \sin\left(\frac{\pi}{3}(t + 1)\right) + 4,5$$ --- **Réponse finale :** La profondeur d'eau sous la bouée en fonction du temps est $$p(t) = 0,75 \sin\left(\frac{\pi}{3}(t + 1)\right) + 4,5$$