1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n + 3$. 2. **Calcul de $U_2$ :** On utilise la relation de récurrence : $$U_1 = U_0 + 3 = 1 + 3 = 4$$ $$U_2 = U_1 + 3 = 4 + 3 = 7$$ 3. **Nature de la suite :** La suite est définie par $U_{n+1} = U_n + 3$, c'est une suite arithmétique de raison $r = 3$. 4. **Expression de $U_n$ en fonction de $n$ :** La formule générale d'une suite arithmétique est : $$U_n = U_0 + n \times r$$ Donc : $$U_n = 1 + 3n$$ 5. **Calcul de $S_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_n$ :** La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique est : $$S_n = (n+1) \times \frac{U_0 + U_n}{2}$$ En remplaçant $U_0$ et $U_n$ : $$S_n = (n+1) \times \frac{1 + (1 + 3n)}{2} = (n+1) \times \frac{2 + 3n}{2}$$ 6. **Déterminer $n$ tel que $S_n = 715$ :** On pose : $$715 = (n+1) \times \frac{2 + 3n}{2}$$ Multiplions les deux côtés par 2 : $$1430 = (n+1)(2 + 3n)$$ Développons : $$1430 = 2(n+1) + 3n(n+1) = 2n + 2 + 3n^2 + 3n = 3n^2 + 5n + 2$$ On obtient l'équation quadratique : $$3n^2 + 5n + 2 - 1430 = 0$$ $$3n^2 + 5n - 1428 = 0$$ 7. **Résolution de l'équation quadratique :** Calcul du discriminant : $$\Delta = 5^2 - 4 \times 3 \times (-1428) = 25 + 17136 = 17161$$ Racine carrée : $$\sqrt{17161} = 131$$ Solutions : $$n = \frac{-5 \pm 131}{2 \times 3} = \frac{-5 \pm 131}{6}$$ Calcul des deux solutions : $$n_1 = \frac{-5 + 131}{6} = \frac{126}{6} = 21$$ $$n_2 = \frac{-5 - 131}{6} = \frac{-136}{6} = -\frac{68}{3}$$ Comme $n$ est un entier naturel, on garde $n = 21$. **Réponse finale :** $$U_2 = 7$$ La suite est arithmétique de raison 3. $$U_n = 1 + 3n$$ $$S_n = (n+1) \times \frac{2 + 3n}{2}$$ La valeur de $n$ telle que $S_n = 715$ est $n = 21$.