1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour la suite définie par $U_n = \frac{n+1}{4n+1}$, on a $\frac{1}{4} < U_n < 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Formule et règles importantes :** La suite est définie par une fraction rationnelle. Pour montrer une inégalité, on peut comparer numérateur et dénominateur en gardant à l'esprit que $n \geq 0$. 3. **Montrer que $U_n < 1$ :** $$U_n = \frac{n+1}{4n+1} < 1 \iff n+1 < 4n+1$$ Simplifions : $$\cancel{n} + 1 < 4\cancel{n} + 1 \implies 1 < 3n + 1$$ $$0 < 3n$$ Ceci est vrai pour tout $n > 0$ et aussi pour $n=0$ car $U_0 = \frac{1}{1} = 1$ (limite égale à 1). Donc $U_n \leq 1$. 4. **Montrer que $U_n > \frac{1}{4}$ :** $$U_n = \frac{n+1}{4n+1} > \frac{1}{4} \iff 4(n+1) > 4n + 1$$ $$4n + 4 > 4n + 1$$ $$4 > 1$$ Ceci est vrai pour tout $n \in \mathbb{N}$. 5. **Conclusion :** On a donc montré que $$\frac{1}{4} < U_n \leq 1$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que la suite $(U_n)_n$ est décroissante. 2. **Formule et règles importantes :** Une suite $(U_n)$ est décroissante si $U_{n+1} \leq U_n$ pour tout $n$. 3. **Calcul de $U_{n+1} - U_n$ :** $$U_{n+1} - U_n = \frac{n+2}{4(n+1)+1} - \frac{n+1}{4n+1} = \frac{n+2}{4n+5} - \frac{n+1}{4n+1}$$ Mettons au même dénominateur : $$= \frac{(n+2)(4n+1) - (n+1)(4n+5)}{(4n+5)(4n+1)}$$ Calculons le numérateur : $$ (n+2)(4n+1) = 4n^2 + n + 8n + 2 = 4n^2 + 9n + 2$$ $$ (n+1)(4n+5) = 4n^2 + 5n + 4n + 5 = 4n^2 + 9n + 5$$ Donc : $$\text{numérateur} = (4n^2 + 9n + 2) - (4n^2 + 9n + 5) = 2 - 5 = -3$$ 4. **Signe de $U_{n+1} - U_n$ :** Le dénominateur $(4n+5)(4n+1)$ est toujours positif pour $n \geq 0$. Donc : $$U_{n+1} - U_n = \frac{-3}{(4n+5)(4n+1)} < 0$$ 5. **Conclusion :** La suite est strictement décroissante car la différence est toujours négative. **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{1}{4} < U_n < 1 \text{ et } (U_n) \text{ est décroissante}}$$