1. **Énoncé du problème :** Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier. 2. **Proposition 1 :** La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = \frac{5}{n}$ pour $n \geq 1$. On doit vérifier si $u_{2n+1} = u_{2n} + 1$. Calculons : $$u_{2n+1} = \frac{5}{2n+1}$$ $$u_{2n} + 1 = \frac{5}{2n} + 1 = \frac{5}{2n} + \frac{2n}{2n} = \frac{5 + 2n}{2n}$$ Ces deux expressions ne sont pas égales en général, donc la proposition est fausse. 3. **Proposition 2 :** La suite $(v_n)$ est définie par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = 5v_n^2 + v_n + 3$. Pour vérifier si $(v_n)$ est croissante, on regarde $v_{n+1} - v_n$ : $$v_{n+1} - v_n = 5v_n^2 + v_n + 3 - v_n = 5v_n^2 + 3$$ Comme $v_n^2 \geq 0$, alors $5v_n^2 + 3 > 0$ pour tout $n$. Donc $v_{n+1} > v_n$ et la suite est croissante. La proposition est vraie. 4. **Proposition 3 :** La suite $(w_n)$ est arithmétique de raison $r$ et premier terme $w_0$. On sait que $w_{30} = 309$ et $w_{100} = 609$. Formule générale : $$w_n = w_0 + nr$$ Donc : $$w_{30} = w_0 + 30r = 309$$ $$w_{100} = w_0 + 100r = 609$$ Soustrayons : $$w_{100} - w_{30} = (w_0 + 100r) - (w_0 + 30r) = 70r = 609 - 309 = 300$$ Donc : $$r = \frac{300}{70} = \frac{30}{7} \approx 4.2857$$ La proposition dit $r=6$, ce qui est faux. Calculons $w_1$ : $$w_1 = w_0 + r$$ De $w_{30} = w_0 + 30r = 309$, on a $$w_0 = 309 - 30r = 309 - 30 \times \frac{30}{7} = 309 - \frac{900}{7} = \frac{2163 - 900}{7} = \frac{1263}{7} = 180.4286$$ Donc $$w_1 = w_0 + r = 180.4286 + 4.2857 = 184.7143$$ La proposition $w_1=9$ est fausse. 5. **Proposition 4 :** La suite $(t_n)$ est géométrique de raison $q > 0$ et premier terme $t_1 = 10$. On sait que $t_5 = 810$. Formule générale : $$t_n = t_1 q^{n-1}$$ Donc : $$t_5 = 10 q^{4} = 810 \Rightarrow q^{4} = \frac{810}{10} = 81$$ On sait que $81 = 3^4$, donc $$q = 3$$ Calculons $t_6$ : $$t_6 = 10 q^{5} = 10 \times 3^{5} = 10 \times 243 = 2430$$ La proposition est vraie. 6. **Proposition 5 :** Somme des nombres impairs de 3 à 163 : $$3 + 5 + 7 + \cdots + 161 + 163 = 88 \times 80$$ Le nombre de termes est : $$\frac{163 - 3}{2} + 1 = \frac{160}{2} + 1 = 80 + 1 = 81$$ La somme des termes d'une suite arithmétique est : $$S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{81}{2} (3 + 163) = \frac{81}{2} \times 166 = 81 \times 83 = 6723$$ Calculons $88 \times 80 = 7040$. Donc la proposition est fausse. **Résumé :** - Proposition 1 : fausse - Proposition 2 : vraie - Proposition 3 : fausse - Proposition 4 : vraie - Proposition 5 : fausse