1. **Énoncé du problème :** Vérifier la véracité de chaque proposition concernant les suites données. 2. **Proposition 1 :** Soit $u_n = \frac{5}{n}$ pour $n \geq 1$. Montrer si $u_{2n+1} = u_{2n} + 1$. Calculons $u_{2n+1} = \frac{5}{2n+1}$ et $u_{2n} + 1 = \frac{5}{2n} + 1 = \frac{5}{2n} + \frac{2n}{2n} = \frac{5 + 2n}{2n}$. Ces deux expressions ne sont pas égales en général, donc la proposition est fausse. 3. **Proposition 2 :** Suite $v_n$ définie par $v_0=3$ et $v_{n+1} = 5v_n^2 + v_n + 3$. Montrer que $(v_n)$ est croissante. Pour $v_0=3$, calculons $v_1 = 5 \times 3^2 + 3 + 3 = 5 \times 9 + 6 = 45 + 6 = 51$. Comme $v_1 > v_0$, et la fonction $f(x) = 5x^2 + x + 3$ est strictement croissante pour $x > 0$, la suite est croissante par récurrence. Donc la proposition est vraie. 4. **Proposition 3 :** Suite arithmétique $(w_n)$ de raison $r$ et premier terme $w_0$. On sait $w_{30} = 309$ et $w_{100} = 609$. Formule générale : $w_n = w_0 + nr$. On a : $$w_{30} = w_0 + 30r = 309$$ $$w_{100} = w_0 + 100r = 609$$ Soustrayons : $$w_{100} - w_{30} = (w_0 + 100r) - (w_0 + 30r) = 70r = 609 - 309 = 300$$ Donc : $$r = \frac{300}{70} = \frac{30}{7} \approx 4.2857$$ Puis : $$w_0 = 309 - 30r = 309 - 30 \times \frac{30}{7} = 309 - \frac{900}{7} = \frac{2163 - 900}{7} = \frac{1263}{7} = 180.4286$$ Donc $r \neq 6$ et $w_1 = w_0 + r \neq 9$. Proposition fausse. 5. **Proposition 4 :** Suite géométrique $(t_n)$ de raison $q > 0$ et premier terme $t_1=10$. On sait $t_5=810$. Formule : $$t_n = t_1 q^{n-1}$$ Donc : $$t_5 = 10 q^{4} = 810 \Rightarrow q^{4} = 81 \Rightarrow q = \sqrt[4]{81} = 3$$ Calculons $t_6$ : $$t_6 = 10 \times 3^{5} = 10 \times 243 = 2430$$ Proposition vraie. 6. **Proposition 5 :** Somme des nombres impairs de 3 à 163 : $3 + 5 + 7 + ... + 161 + 163 = 88 \times 80$. Nombre de termes : $$\frac{163 - 3}{2} + 1 = \frac{160}{2} + 1 = 80 + 1 = 81$$ Somme des termes d'une suite arithmétique : $$S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{81}{2} (3 + 163) = \frac{81}{2} \times 166 = 81 \times 83 = 6723$$ Calcul de $88 \times 80 = 7040$. Donc la proposition est fausse. **Résumé :** - Proposition 1 : fausse - Proposition 2 : vraie - Proposition 3 : fausse - Proposition 4 : vraie - Proposition 5 : fausse