1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{3}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$ pour tout entier naturel $n$. 2. **Vérification de la relation alternative :** Montrons que $u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$. Calculons : $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} = \frac{(3u_n + 2)(2 + u_n)}{(2 + u_n)(2 + u_n)} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$$ Mais pour exprimer sous la forme demandée, écrivons : $$3 - \frac{4}{2 + u_n} = \frac{3(2 + u_n) - 4}{2 + u_n} = \frac{6 + 3u_n - 4}{2 + u_n} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$$ Donc la relation est vérifiée. 3. **Montrer par récurrence que $0 < u_n < 2$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $u_0 = \frac{3}{2} = 1.5$, donc $0 < u_0 < 2$. - Hérédité : Supposons $0 < u_n < 2$. Alors $2 + u_n > 0$ et $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} > 0$$ car numérateur et dénominateur sont positifs. Montrons $u_{n+1} < 2$ : $$u_{n+1} < 2 \iff \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} < 2 \iff 3u_n + 2 < 2(2 + u_n) = 4 + 2u_n$$ $$\iff 3u_n + 2 < 4 + 2u_n \iff u_n < 2$$ qui est vraie par hypothèse. Donc $0 < u_{n+1} < 2$. Par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$. 4. **Montrer que $u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$ :** Calculons : $$u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} - u_n = \frac{3u_n + 2 - u_n(2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{3u_n + 2 - 2u_n - u_n^2}{2 + u_n} = \frac{u_n + 2 - u_n^2}{2 + u_n}$$ Factorisons le numérateur : $$u_n + 2 - u_n^2 = -(u_n^2 - u_n - 2) = -(u_n - 2)(u_n + 1) = (1 + u_n)(2 - u_n)$$ Donc $$u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$$ 5. **Montrer que $(u_n)$ est croissante et convergente :** Puisque $0 < u_n < 2$, on a $1 + u_n > 0$ et $2 - u_n > 0$, donc le numérateur $(1 + u_n)(2 - u_n) > 0$. Le dénominateur $2 + u_n > 0$. Donc $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est strictement croissante. De plus, $u_n$ est croissante et majorée par 2, donc elle est convergente. 6. **Montrer que $0 < 2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$ :** On a $$2 - u_{n+1} = 2 - \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} = \frac{2(2 + u_n) - (3u_n + 2)}{2 + u_n} = \frac{4 + 2u_n - 3u_n - 2}{2 + u_n} = \frac{2 - u_n}{2 + u_n}$$ On veut montrer $$\frac{2 - u_{n+1}}{2 - u_n} = \frac{1}{2 + u_n} \leq \frac{2}{7}$$ Or $u_n < 2$ donc $2 + u_n < 4$, mais pour majorer $\frac{1}{2 + u_n}$ par $\frac{2}{7}$, on vérifie que $2 + u_n \geq \frac{7}{2} = 3.5$. Par la borne inférieure de $u_n$, on peut montrer que $u_n \geq \frac{3}{2}$, donc $2 + u_n \geq 3.5$. Donc $$0 < 2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$ 7. **Déduire que $0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n$ :** Par récurrence, on obtient $$0 < 2 - u_n \leq \left(\frac{2}{7}\right)^n (2 - u_0) = \left(\frac{2}{7}\right)^n \times \frac{1}{2}$$ car $2 - u_0 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$. 8. **Déterminer la limite de $(u_n)$ :** La suite est croissante et majorée par 2, donc $$\lim_{n \to \infty} u_n = \ell \leq 2$$ En passant à la limite dans la relation $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$$ On obtient $$\ell = \frac{3\ell + 2}{2 + \ell}$$ Multipliant par $2 + \ell$ : $$\ell(2 + \ell) = 3\ell + 2 \iff 2\ell + \ell^2 = 3\ell + 2 \iff \ell^2 - \ell - 2 = 0$$ Résolvons : $$\ell = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Solutions : $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $u_n > 0$, la limite est $$\boxed{2}$$