1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $\{U_n\}_{n\geq1}$ définie par $U_1=1$ et $U_{n+1} = 3U_n + 2$. 2. **Montrer que $\{U_n\}$ est une suite :** C'est une suite définie par récurrence, donc par définition, $\{U_n\}$ est une suite. 3. **Montrer que $\{U_n\}$ est dominée et croissante :** On vérifie la croissance par récurrence : - Initialisation : $U_1=1$ - Hypothèse : Supposons $U_n \leq U_{n+1}$ - Calcul : $U_{n+1} = 3U_n + 2 > U_n$ car $3U_n + 2 - U_n = 2U_n + 2 > 0$ pour $U_n \geq 0$ Donc $\{U_n\}$ est croissante. 4. **Définition de la suite $V_n = U_n + 2$ :** On a $V_n = U_n + 2$. 5. **Montrer que $V_n$ est géométrique de raison $t$ :** Calculons $V_{n+1}$ : $$ V_{n+1} = U_{n+1} + 2 = 3U_n + 2 + 2 = 3U_n + 4 = 3(U_n + 2) - 2 = 3V_n - 2 $$ Mais pour que $V_n$ soit géométrique, on doit avoir $V_{n+1} = t V_n$. Ici, $V_{n+1} = 3V_n - 2$, ce n'est pas une suite géométrique stricte. Cependant, on peut corriger en posant $W_n = V_n - k$ pour un certain $k$ afin d'obtenir une suite géométrique. Posons $W_n = V_n - k$, alors $$ W_{n+1} = V_{n+1} - k = 3V_n - 2 - k = 3(W_n + k) - 2 - k = 3W_n + 3k - 2 - k = 3W_n + 2k - 2 $$ Pour que $W_n$ soit géométrique, il faut que $2k - 2 = 0$, donc $k = 1$. Donc $W_n = V_n - 1$ est géométrique de raison 3 : $$ W_{n+1} = 3W_n $$ 6. **Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ :** On a $W_1 = V_1 - 1 = (U_1 + 2) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$. Donc $$ W_n = W_1 \times 3^{n-1} = 2 \times 3^{n-1} $$ D'où $$ V_n = W_n + 1 = 2 \times 3^{n-1} + 1 $$ 7. **Déduire que $U_n$ est bornée pour tout $n$ :** On a $U_n = V_n - 2 = 2 \times 3^{n-1} + 1 - 2 = 2 \times 3^{n-1} - 1$. Cette suite n'est pas bornée car $3^{n-1}$ croît sans limite. 8. **Calculer la somme $S_n = U_0 + U_1 + ... + U_n$ :** On remarque que $U_0$ n'est pas défini, mais supposons $U_0$ défini par la relation de récurrence inversée ou on commence à $n=1$. La somme de $U_k$ de $k=1$ à $n$ est : $$ S_n = \sum_{k=1}^n U_k = \sum_{k=1}^n (2 \times 3^{k-1} - 1) = 2 \sum_{k=1}^n 3^{k-1} - \sum_{k=1}^n 1 = 2 \frac{3^n - 1}{3 - 1} - n = 2 \frac{3^n - 1}{2} - n = 3^n - 1 - n $$ **Réponse finale :** $S_n = 3^n - 1 - n$.