1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n - 2}{3 - u_n}$. 2. **Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-1 \leq u_n \leq 2$ :** - Initialisation : $$u_0 = 0$$ On a bien $-1 \leq 0 \leq 2$. - Hypothèse de récurrence : Supposons que $-1 \leq u_n \leq 2$. - Étape de récurrence : Calculons $u_{n+1} = \frac{2u_n - 2}{3 - u_n}$. Pour $u_n \in [-1,2]$, le dénominateur $3 - u_n$ est positif car $3 - 2 = 1 > 0$ et $3 - (-1) = 4 > 0$. Montrons que $u_{n+1} \leq 2$ : $$u_{n+1} \leq 2 \iff \frac{2u_n - 2}{3 - u_n} \leq 2$$ $$\iff 2u_n - 2 \leq 2(3 - u_n)$$ $$\iff 2u_n - 2 \leq 6 - 2u_n$$ $$\iff 4u_n \leq 8$$ $$\iff u_n \leq 2$$ Ceci est vrai par hypothèse. Montrons que $u_{n+1} \geq -1$ : $$u_{n+1} \geq -1 \iff \frac{2u_n - 2}{3 - u_n} \geq -1$$ $$\iff 2u_n - 2 \geq -1(3 - u_n)$$ $$\iff 2u_n - 2 \geq -3 + u_n$$ $$\iff u_n \geq -1$$ Ceci est vrai par hypothèse. Donc $-1 \leq u_{n+1} \leq 2$. Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$. 3. **Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante :** On veut montrer $u_{n+1} \leq u_n$. Calculons $u_{n+1} - u_n$ : $$u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n - 2}{3 - u_n} - u_n = \frac{2u_n - 2 - u_n(3 - u_n)}{3 - u_n} = \frac{2u_n - 2 - 3u_n + u_n^2}{3 - u_n} = \frac{u_n^2 - u_n - 2}{3 - u_n}$$ Factorisons le numérateur : $$u_n^2 - u_n - 2 = (u_n - 2)(u_n + 1)$$ Le dénominateur $3 - u_n > 0$ pour $u_n \leq 2$. Sur l'intervalle $[-1,2]$, $(u_n - 2) \leq 0$ et $(u_n + 1) \geq 0$, donc le produit $(u_n - 2)(u_n + 1) \leq 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n \leq 0$, donc la suite est décroissante. 4. **Montrer pour tout $n$ : $0 \leq 1 + u_{n+1} \leq \frac{1}{3}(1 + u_n)$ :** Calculons $1 + u_{n+1}$ : $$1 + u_{n+1} = 1 + \frac{2u_n - 2}{3 - u_n} = \frac{3 - u_n + 2u_n - 2}{3 - u_n} = \frac{1 + u_n}{3 - u_n}$$ Montrons que $0 \leq 1 + u_{n+1}$ : Comme $-1 \leq u_n \leq 2$, $1 + u_n \geq 0$ et $3 - u_n > 0$, donc $1 + u_{n+1} \geq 0$. Montrons que $1 + u_{n+1} \leq \frac{1}{3}(1 + u_n)$ : $$\frac{1 + u_n}{3 - u_n} \leq \frac{1}{3}(1 + u_n)$$ $$\iff \frac{1}{3 - u_n} \leq \frac{1}{3}$$ $$\iff 3 \leq 3 - u_n$$ $$\iff u_n \leq 0$$ Or, par la propriété précédente, $u_n \leq 2$ mais on doit vérifier que $u_n \leq 0$ pour que l'inégalité soit vraie. Cependant, on peut montrer par récurrence que $u_n \leq 0$ pour tout $n$ (car $u_0=0$ et la suite est décroissante). 5. **En déduire que $1 + u_n \leq \left(\frac{1}{3}\right)^n$ :** Par récurrence : - Initialisation : $$1 + u_0 = 1 + 0 = 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^0$$ - Hypothèse : Supposons $1 + u_n \leq \left(\frac{1}{3}\right)^n$. - Étape : $$1 + u_{n+1} \leq \frac{1}{3}(1 + u_n) \leq \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}$$ 6. **Définition de la suite $(v_n)$ :** $$v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 1}$$ 7. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique et déterminer sa raison :** Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} + 1}$$ Utilisons la relation de récurrence : $$u_{n+1} = \frac{2u_n - 2}{3 - u_n}$$ Calculons numérateur et dénominateur de $v_{n+1}$ : Numérateur : $$u_{n+1} - 2 = \frac{2u_n - 2}{3 - u_n} - 2 = \frac{2u_n - 2 - 2(3 - u_n)}{3 - u_n} = \frac{2u_n - 2 - 6 + 2u_n}{3 - u_n} = \frac{4u_n - 8}{3 - u_n}$$ Dénominateur : $$u_{n+1} + 1 = \frac{2u_n - 2}{3 - u_n} + 1 = \frac{2u_n - 2 + 3 - u_n}{3 - u_n} = \frac{u_n + 1}{3 - u_n}$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{4u_n - 8}{3 - u_n} \times \frac{3 - u_n}{u_n + 1} = \frac{4u_n - 8}{u_n + 1} = \frac{4(u_n - 2)}{u_n + 1} = 4 v_n$$ La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $4$. 8. **Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ :** On a : $$v_0 = \frac{u_0 - 2}{u_0 + 1} = \frac{0 - 2}{0 + 1} = -2$$ Donc : $$v_n = v_0 \times 4^n = -2 \times 4^n$$ Puis : $$v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 1} = -2 \times 4^n$$ Résolvons pour $u_n$ : $$u_n - 2 = -2 \times 4^n (u_n + 1)$$ $$u_n - 2 = -2 \times 4^n u_n - 2 \times 4^n$$ $$u_n + 2 \times 4^n u_n = -2 \times 4^n + 2$$ $$u_n (1 + 2 \times 4^n) = 2 - 2 \times 4^n$$ $$u_n = \frac{2 - 2 \times 4^n}{1 + 2 \times 4^n} = \frac{2(1 - 4^n)}{1 + 2 \times 4^n}$$