1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et la relation de récurrence $$u_{n+1} = 2 \times \frac{u_n + 1}{u_n + 2}$$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ et montrer que $f$ est croissante :** La fonction $f$ est définie par $$f(x) = 2 \times \frac{x + 1}{x + 2}.$$ Pour étudier la croissance de $f$, calculons sa dérivée : $$f'(x) = 2 \times \frac{(1)(x+2) - (x+1)(1)}{(x+2)^2} = 2 \times \frac{x + 2 - x - 1}{(x+2)^2} = 2 \times \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}.$$ Comme $(x+2)^2 > 0$ pour tout $x > -2$, on a $f'(x) > 0$ pour tout $x > -2$. Donc $f$ est strictement croissante sur son domaine. 3. **Calculer $f(\sqrt{2})$ et déduire par récurrence que $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$ pour tout $n$ :** Calculons : $$f(\sqrt{2}) = 2 \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 2}.$$ Approximons numériquement : $\sqrt{2} \approx 1.414$, donc $$f(1.414) \approx 2 \times \frac{1.414 + 1}{1.414 + 2} = 2 \times \frac{2.414}{3.414} \approx 2 \times 0.707 = 1.414 = \sqrt{2}.$$ On remarque que $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$. **Par récurrence, montrons que $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$ :** - Initialisation : $u_0 = 1$ donc $1 \leq u_0 \leq \sqrt{2}$. - Hypothèse de récurrence : supposons $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$. - Montrons que $1 \leq u_{n+1} = f(u_n) \leq \sqrt{2}$. Comme $f$ est croissante et $f(1) = 2 \times \frac{1+1}{1+2} = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.333 > 1$, et $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$, on a $$f(1) > 1 \quad \text{et} \quad f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}.$$ Donc, pour $u_n \in [1, \sqrt{2}]$, on a $$f(u_n) \in [f(1), f(\sqrt{2})] = \left[\frac{4}{3}, \sqrt{2}\right] \subset [1, \sqrt{2}].$$ Ainsi, $1 \leq u_{n+1} \leq \sqrt{2}$. 4. **Vérifier que $(u_n)$ est croissante :** Montrons que $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. Calculons la différence : $$u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n = 2 \times \frac{u_n + 1}{u_n + 2} - u_n = \frac{2(u_n + 1) - u_n(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{2u_n + 2 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2} = \frac{2 - u_n^2}{u_n + 2}.$$ Comme $u_n \geq 1$, le dénominateur $u_n + 2 > 0$. Le signe de la différence dépend de $2 - u_n^2$. Or, $u_n \leq \sqrt{2}$ donc $u_n^2 \leq 2$, donc $2 - u_n^2 \geq 0$. Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$, la suite est croissante. 5. **Montrer que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite :** La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\sqrt{2}$, donc elle est convergente. Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} u_n$. En passant à la limite dans la relation de récurrence, $$\ell = f(\ell) = 2 \times \frac{\ell + 1}{\ell + 2}.$$ Résolvons pour $\ell$ : $$\ell (\ell + 2) = 2(\ell + 1)$$ $$\ell^2 + 2\ell = 2\ell + 2$$ $$\ell^2 + 2\ell - 2\ell = 2$$ $$\ell^2 = 2$$ $$\ell = \pm \sqrt{2}.$$ Comme $u_n \geq 1$, la limite est positive, donc $$\boxed{\ell = \sqrt{2}}.$$