1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0=3$, $U_1=12$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+2} = 4U_{n+1} - 3U_n + 10$. On pose $V_n = U_{n+1} - 3U_n$. 2. **Calcul de $U_2$ :** Utilisons la relation de récurrence : $$U_2 = 4U_1 - 3U_0 + 10 = 4 \times 12 - 3 \times 3 + 10 = 48 - 9 + 10 = 49.$$ Donc, $U_2 = 49$. 3. **Étude de la suite $(V_n)$ :** Par définition, $V_n = U_{n+1} - 3U_n$. Calculons $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = U_{n+2} - 3U_{n+1} = (4U_{n+1} - 3U_n + 10) - 3U_{n+1} = U_{n+1} - 3U_n + 10 = V_n + 10.$$ Cela montre que $V_{n+1} = V_n + 10$, donc $(V_n)$ est une suite arithmétique de raison $10$. 4. **Expression de $U_n$ en fonction de $n$ :** On cherche une solution de la forme $U_n = A \times 3^n + Bn + C$. En injectant dans la relation de récurrence et en utilisant les conditions initiales, on trouve : $$U_n = 7 \times 3^n - 5n - 4.$$