1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n = \frac{n}{4}$. 2. **Formule et règles importantes :** On suppose que la suite $(u_n)$ est définie par une relation que nous devons vérifier ou démontrer. Ici, on veut montrer que $u_n = \frac{n}{4}$ pour tout $n$ naturel. 3. **Démonstration par récurrence :** - **Initialisation :** Vérifions pour $n=0$ ou $n=1$ selon la définition de la suite. - **Hérédité :** Supposons que $u_k = \frac{k}{4}$ est vrai pour un certain $k \in \mathbb{N}$. - Montrons que $u_{k+1} = \frac{k+1}{4}$. 4. **Interprétation :** Si la suite est définie par une relation de récurrence compatible avec cette formule, la démonstration est complète. 5. **Montrer que $(u_n)$ est décroissante :** Calculons $u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{4} - \frac{n}{4} = \frac{1}{4} > 0$. Cela montre que la suite est croissante, donc il faut vérifier la définition exacte de $u_n$ pour confirmer décroissance. 6. **Conclusion sur la convergence :** Si la suite est décroissante et minorée, elle est convergente. La limite est $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{4} = +\infty$ si la suite est telle que $u_n = \frac{n}{4}$. **Finalement,** la suite $u_n = \frac{n}{4}$ est strictement croissante et non convergente vers une limite finie. --- **Résumé :** - $u_n = \frac{n}{4}$ - La suite est croissante, pas décroissante. - La suite diverge vers $+\infty$.