1. **Énoncé du problème :** Nous allons réviser les suites numériques et quelques notions de topologie associées. 2. **Définition d'une suite numérique :** Une suite numérique est une fonction $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, souvent notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, où chaque terme $u_n$ est un nombre réel. 3. **Convergence d'une suite :** Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| < \varepsilon$. 4. **Exemple :** Montrons que la suite $u_n = \frac{1}{n}$ converge vers 0. 5. Pour $\varepsilon > 0$, choisissons $N > \frac{1}{\varepsilon}$. 6. Alors pour tout $n \geq N$, on a $$|u_n - 0| = \left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon.$$ 7. Donc, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$. 8. **Notions de topologie :** En topologie, on s'intéresse aux propriétés de l'espace liées à la notion d'ouverture, de voisinage, de fermeture, etc. 9. Par exemple, un ensemble $A \subset \mathbb{R}$ est fermé si sa complémentaire est ouvert, ou encore si $A$ contient toutes ses limites. 10. Une suite $(u_n)$ est dite convergente dans $A$ si sa limite appartient à $A$. 11. **Résumé :** Les suites numériques permettent d'étudier la convergence vers une limite, et la topologie fournit un cadre pour comprendre les propriétés des ensembles et des limites dans $\mathbb{R}$.