1. Énoncé du problème : Résoudre le système différentiel $$X'(t) = AX(t)$$ avec la matrice $$A = \begin{pmatrix}1 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 0\end{pmatrix}$$. 2. Rappel : Pour résoudre un système différentiel linéaire $$X'(t) = AX(t)$$, on cherche les valeurs propres $$\lambda$$ de $$A$$ en résolvant $$\det(A - \lambda I) = 0$$, puis les vecteurs propres associés. 3. Calcul du polynôme caractéristique : $$\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 4 & -2 \\ 0 & 6-\lambda & -3 \\ -1 & 4 & -\lambda\end{pmatrix} = 0$$ 4. Développons ce déterminant : $$ (1-\lambda) \times \det\begin{pmatrix}6-\lambda & -3 \\ 4 & -\lambda\end{pmatrix} - 4 \times \det\begin{pmatrix}0 & -3 \\ -1 & -\lambda\end{pmatrix} - 2 \times \det\begin{pmatrix}0 & 6-\lambda \\ -1 & 4\end{pmatrix} $$ 5. Calcul des mineurs : - $$\det\begin{pmatrix}6-\lambda & -3 \\ 4 & -\lambda\end{pmatrix} = (6-\lambda)(-\lambda) - (-3)(4) = -6\lambda + \lambda^2 + 12 = \lambda^2 - 6\lambda + 12$$ - $$\det\begin{pmatrix}0 & -3 \\ -1 & -\lambda\end{pmatrix} = 0 \times (-\lambda) - (-3)(-1) = -3$$ - $$\det\begin{pmatrix}0 & 6-\lambda \\ -1 & 4\end{pmatrix} = 0 \times 4 - (6-\lambda)(-1) = 6 - \lambda$$ 6. Substitution dans le déterminant : $$ (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 12) - 4(-3) - 2(6 - \lambda) = 0 $$ 7. Simplifions : $$ (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 12) + 12 - 12 + 2\lambda = 0 $$ $$ (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 12) + 2\lambda = 0 $$ 8. Développons : $$ (1)(\lambda^2 - 6\lambda + 12) - \lambda(\lambda^2 - 6\lambda + 12) + 2\lambda = 0 $$ $$ \lambda^2 - 6\lambda + 12 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 12\lambda + 2\lambda = 0 $$ 9. Regroupons les termes : $$ -\lambda^3 + (\lambda^2 + 6\lambda^2) + (-6\lambda - 12\lambda + 2\lambda) + 12 = 0 $$ $$ -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 16\lambda + 12 = 0 $$ 10. Multiplions par -1 pour simplifier : $$ \lambda^3 - 7\lambda^2 + 16\lambda - 12 = 0 $$ 11. Cherchons les racines entières possibles parmi les diviseurs de 12 : $$\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$$. 12. Testons $$\lambda=1$$ : $$1 - 7 + 16 - 12 = -2 \neq 0$$ 13. Testons $$\lambda=2$$ : $$8 - 28 + 32 - 12 = 0$$ donc $$\lambda=2$$ est une racine. 14. Divisons le polynôme par $$\lambda - 2$$ : $$ \lambda^3 - 7\lambda^2 + 16\lambda - 12 = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) $$ 15. Résolvons $$\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$$ : $$ (\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 $$ 16. Les valeurs propres sont donc $$\lambda_1 = 2$$, $$\lambda_2 = 2$$, $$\lambda_3 = 3$$. 17. Trouvons les vecteurs propres associés en résolvant $$ (A - \lambda I) v = 0 $$ pour chaque $$\lambda$$. 18. Pour $$\lambda = 2$$ : $$ A - 2I = \begin{pmatrix}-1 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & -3 \\ -1 & 4 & -2\end{pmatrix} $$ 19. Résolvons le système : $$ -x + 4y - 2z = 0 $$ $$ 4y - 3z = 0 $$ $$ -x + 4y - 2z = 0 $$ 20. De la deuxième équation : $$4y = 3z \Rightarrow y = \frac{3}{4}z$$. 21. Substituons dans la première : $$ -x + 4 \times \frac{3}{4}z - 2z = 0 \Rightarrow -x + 3z - 2z = 0 \Rightarrow -x + z = 0 \Rightarrow x = z $$ 22. Le vecteur propre associé est donc $$v = \begin{pmatrix}z \\ \frac{3}{4}z \\ z\end{pmatrix} = z \begin{pmatrix}1 \\ \frac{3}{4} \\ 1\end{pmatrix}$$. 23. Pour $$\lambda = 3$$ : $$ A - 3I = \begin{pmatrix}-2 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & 4 & -3\end{pmatrix} $$ 24. Résolvons le système : $$ -2x + 4y - 2z = 0 $$ $$ 3y - 3z = 0 $$ $$ -x + 4y - 3z = 0 $$ 25. De la deuxième équation : $$3y = 3z \Rightarrow y = z$$. 26. Substituons dans la première : $$ -2x + 4z - 2z = 0 \Rightarrow -2x + 2z = 0 \Rightarrow -2x = -2z \Rightarrow x = z $$ 27. Vérifions la troisième équation : $$ -x + 4y - 3z = -z + 4z - 3z = 0 $$ 28. Le vecteur propre associé est donc $$v = z \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$. 29. La solution générale du système est : $$ X(t) = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix}1 \\ \frac{3}{4} \\ 1\end{pmatrix} + c_2 t e^{2t} \begin{pmatrix}1 \\ \frac{3}{4} \\ 1\end{pmatrix} + c_3 e^{3t} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} $$ 30. Remarque : La présence de la solution avec facteur $$t e^{2t}$$ est due à la multiplicité de la valeur propre $$2$$. Réponse finale : $$ X(t) = e^{2t} \left(c_1 + c_2 t\right) \begin{pmatrix}1 \\ \frac{3}{4} \\ 1\end{pmatrix} + c_3 e^{3t} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} $$