1. **Énoncé du problème :** On considère plusieurs systèmes différentiels linéaires à coefficients variables ou constants, et on cherche à les mettre sous forme matricielle, vérifier des solutions fondamentales, utiliser la méthode de variation des constantes, calculer la résolvante, et résoudre les problèmes de Cauchy associés. --- ### Exercice 1 1. Mettre le système (1) sous la forme $$X' = A(t)X + B(t)$$ Le système est $$\begin{cases} (1+t^2)x' - tx - y = 2t^2 - 1 \\ (1+t^2)y' + x - ty = 3t \end{cases}$$ On isole $x'$ et $y'$ : $$x' = \frac{tx + y + 2t^2 - 1}{1+t^2}, \quad y' = \frac{-x + ty + 3t}{1+t^2}$$ Donc $$X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad A(t) = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix}, \quad B(t) = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} 2t^2 - 1 \\ 3t \end{pmatrix}$$ 2. Montrer que $$\varphi_1(t) = \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix}$$ et $$\varphi_2(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -t \end{pmatrix}$$ sont solutions du système homogène $X' = A(t)X$. Calculons $\varphi_1'$: $$\varphi_1' = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Calculons $A(t)\varphi_1$: $$A(t)\varphi_1 = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} t^2 + 1 \\ -t + t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Donc $\varphi_1' = A(t)\varphi_1$. De même pour $\varphi_2$: $$\varphi_2' = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $$A(t)\varphi_2 = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} t & 1 \\ -1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -t \end{pmatrix} = \frac{1}{1+t^2} \begin{pmatrix} t - t \\ -1 - t^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Donc $\varphi_2' = A(t)\varphi_2$. Le Wronskien est $$W(t) = \det(\varphi_1(t), \varphi_2(t)) = \det \begin{pmatrix} t & 1 \\ 1 & -t \end{pmatrix} = -t^2 - 1 = -(1+t^2) \neq 0$$ 3. Écrire $B(t)$ sur la base $(\varphi_1, \varphi_2)$ : On cherche $B(t) = a(t)\varphi_1(t) + b(t)\varphi_2(t)$, soit $$\begin{pmatrix} \frac{2t^2 - 1}{1+t^2} \\ \frac{3t}{1+t^2} \end{pmatrix} = a(t) \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} + b(t) \begin{pmatrix} 1 \\ -t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a(t) t + b(t) \\ a(t) - b(t) t \end{pmatrix}$$ On résout le système : $$\begin{cases} a(t) t + b(t) = \frac{2t^2 - 1}{1+t^2} \\ a(t) - b(t) t = \frac{3t}{1+t^2} \end{cases}$$ 4. Méthode de variation des constantes : On pose $$X(t) = \lambda(t) \varphi_1(t) + \mu(t) \varphi_2(t)$$ Alors $$X' = \lambda' \varphi_1 + \mu' \varphi_2 + \lambda \varphi_1' + \mu \varphi_2'$$ Comme $\varphi_1', \varphi_2'$ satisfont le système homogène, on a $$X' = A(t) X + \lambda' \varphi_1 + \mu' \varphi_2$$ Or $X' = A(t) X + B(t)$, donc $$\lambda' \varphi_1 + \mu' \varphi_2 = B(t)$$ On obtient le système pour $\lambda', \mu'$ : $$\begin{cases} \lambda' t + \mu' = \frac{2t^2 - 1}{1+t^2} \\ \lambda' - \mu' t = \frac{3t}{1+t^2} \end{cases}$$ 5. Résoudre ce système pour $\lambda', \mu'$, intégrer, puis écrire la solution générale $$X(t) = \lambda(t) \varphi_1(t) + \mu(t) \varphi_2(t)$$ --- ### Exercice 2 1. Vérifier que $$\varphi_1(t) = \begin{pmatrix} e^t \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \varphi_2(t) = \begin{pmatrix} -1 \\ e^{-t} \end{pmatrix}$$ sont solutions de $$X' = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & e^t \\ e^{-t} & -1 \end{pmatrix} X$$ Calculs similaires à l'exercice 1 montrent que c'est vrai. 2. La famille $\{\varphi_1, \varphi_2\}$ est un système fondamental. 3. Résoudre le système non homogène $$X' = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & e^t \\ e^{-t} & -1 \end{pmatrix} X + \begin{pmatrix} -1 \\ t \end{pmatrix}$$ avec la méthode de variation des constantes. 4. La résolvante est donnée par $$R(t,t_0) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + e^{t-t_0} & e^t - e^{t_0} \\ e^{-t_0} - e^{-t} & 1 + e^{t_0 - t} \end{pmatrix}$$ 5. Résoudre les systèmes avec conditions initiales données en utilisant les méthodes précédentes. --- ### Exercice 3 Système $$\begin{cases} x' = t x - y \\ y' = x + t y \end{cases}$$ Poser $z = x + i y$, alors $$z' = x' + i y' = (t x - y) + i (x + t y) = t(x + i y) + i(x + i y) = (t + i) z$$ C'est une équation différentielle complexe simple $$z' = (t + i) z$$ Solution générale $$z(t) = z_0 e^{\int (t + i) dt} = z_0 e^{\frac{t^2}{2} + i t} = z_0 e^{\frac{t^2}{2}} (\cos t + i \sin t)$$ On en déduit $x(t)$ et $y(t)$ en séparant parties réelles et imaginaires. --- ### Exercice 4 1. Pour $$A(t) = \begin{pmatrix} \alpha(t) & \beta(t) \\ -\beta(t) & \alpha(t) \end{pmatrix}$$ (a) Montrer que $A(t)$ et $A(s)$ commutent : Calcul de $A(t)A(s) - A(s)A(t)$ donne la matrice nulle car les matrices sont de la forme $\alpha I + \beta J$ avec $J^2 = -I$. (b) La résolvante est $$R(t,s) = e^{\int_s^t A(u) du}$$ (c) Résoudre explicitement le problème en utilisant l'exponentielle de matrice. 2. Pour $$A(t) = t A$$ avec $A$ constant, on a $$R(t,s) = e^{\frac{t^2 - s^2}{2} A}$$ 3. Pour $$A(t) = \begin{pmatrix} \frac{1}{t} & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (a) Calculer $$A(t)A(s) - A(s)A(t) = \begin{pmatrix} 0 & t - s \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$$ (b) Calculer la résolvante et comparer avec $$\exp\left( \int_{t_0}^t A(u) du \right)$$ --- **Résumé :** Chaque exercice demande de manipuler des systèmes différentiels linéaires, vérifier des solutions, calculer des résolvantes, et appliquer la méthode de variation des constantes.