1. Énoncé du problème : Nous avons deux voitures avec des valeurs initiales différentes et des taux de dépréciation annuels différents. Nous devons déterminer après combien d'années leurs valeurs seront égales. 2. Formule utilisée : La valeur d'une voiture après $t$ années est donnée par la formule de dépréciation exponentielle : $$ V(t) = V_0 \times (1 - r)^t $$ avec $V_0$ la valeur initiale et $r$ le taux de dépréciation annuel. 3. Application aux deux voitures : - Voiture de Mare : $V_M(t) = 10500 \times (1 - 0.05)^t = 10500 \times 0.95^t$ - Voiture de Julie : $V_J(t) = 20000 \times (1 - 0.20)^t = 20000 \times 0.80^t$ 4. Équation à résoudre : $$ 10500 \times 0.95^t = 20000 \times 0.80^t $$ 5. Divisons les deux côtés par 10500 : $$ \cancel{10500} \times 0.95^t = \frac{20000}{10500} \times 0.80^t $$ $$ 0.95^t = \frac{20000}{10500} \times 0.80^t $$ 6. Divisons ensuite par $0.80^t$ : $$ \frac{0.95^t}{0.80^t} = \frac{20000}{10500} $$ $$ \left(\frac{0.95}{0.80}\right)^t = \frac{20000}{10500} $$ 7. Simplifions la fraction à droite : $$ \frac{20000}{10500} = \frac{20000 \div 500}{10500 \div 500} = \frac{40}{21} $$ 8. Prenons le logarithme naturel des deux côtés : $$ t \times \ln\left(\frac{0.95}{0.80}\right) = \ln\left(\frac{40}{21}\right) $$ 9. Isolons $t$ : $$ t = \frac{\ln\left(\frac{40}{21}\right)}{\ln\left(\frac{0.95}{0.80}\right)} $$ 10. Calculons les valeurs numériques : $$ \ln\left(\frac{40}{21}\right) \approx \ln(1.90476) \approx 0.6435 $$ $$ \ln\left(\frac{0.95}{0.80}\right) = \ln(1.1875) \approx 0.1719 $$ 11. Donc : $$ t \approx \frac{0.6435}{0.1719} \approx 3.74 $$ 12. Conclusion : Les deux voitures auront la même valeur environ après 3.74 ans à partir du moment de l'achat.