1. **Énoncé du problème :** Un coureur effectue une course en montagne en deux étapes. On doit calculer les dénivelés de chaque étape, vérifier la similitude de deux triangles, et déterminer si le coureur atteint une vitesse ascensionnelle d'au moins 1500 m/h. 2. **Formule utilisée :** La vitesse ascensionnelle $V_a$ est donnée par $$V_a = \frac{\text{dénivelé total}}{\text{durée en heures}}$$ Le dénivelé d'une étape est la différence d'altitude, calculée par le théorème de Pythagore ou par trigonométrie selon les données. 3. **Calcul du dénivelé de la première étape :** Données : longueur de la pente $DF = 3280$ m, déplacement horizontal $DE = 3208$ m. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $DEF$ : $$DF^2 = DE^2 + EF^2$$ Donc $$EF = \sqrt{DF^2 - DE^2} = \sqrt{3280^2 - 3208^2}$$ Calculons : $$3280^2 = 10758400$$ $$3208^2 = 10291264$$ $$EF = \sqrt{10758400 - 10291264} = \sqrt{467136} \approx 683.7$$ Le dénivelé de la première étape est donc environ $683$ m. 4. **a. Montrer que les triangles $DEF$ et $FGH$ sont semblables :** - Les points $D, F, H$ sont alignés. - $(FG) \parallel (DE)$ donc les angles correspondants sont égaux. - Les triangles $DEF$ et $FGH$ ont un angle droit chacun. Par conséquent, les triangles ont deux angles égaux, donc ils sont semblables par le critère AA (angle-angle). 4. **b. Coefficient d'agrandissement entre $DEF$ et $FGH$ :** Les côtés correspondants sont $DE$ et $FG$. Données : $DE = 3208$ m, $FG = 4100$ m. Le coefficient d'agrandissement $k$ est $$k = \frac{FG}{DE} = \frac{4100}{3208} \approx 1.278$$ 4. **c. Dénivelé de la seconde étape :** Le dénivelé de la seconde étape $GH$ correspond au côté $EF$ agrandi par $k$ : $$GH = k \times EF = 1.278 \times 683 \approx 872.7$$ 5. **Calcul de la vitesse ascensionnelle totale :** Dénivelé total : $$683 + 873 = 1556 \text{ m (arrondi)}$$ Durée : 57 minutes = $\frac{57}{60} = 0.95$ heures. Vitesse ascensionnelle : $$V_a = \frac{1556}{0.95} \approx 1637.9 \text{ m/h}$$ 6. **Conclusion :** Le coureur atteint une vitesse ascensionnelle d'environ $1638$ m/h, ce qui est supérieur à son objectif de $1500$ m/h. **Réponse finale :** Le coureur atteint son objectif de vitesse ascensionnelle.