1. **Problème 1 : Volume maximal du cylindre** On cherche à déterminer la valeur de $r$ pour laquelle le volume du cylindre est maximal. 1. Prouver que $h = 3(10 - r)$ et en déduire le volume $V(r)$. - Le volume d'un cylindre est donné par la formule $$V = \pi r^2 h$$ - On nous donne que $h = 3(10 - r)$. - Donc, $$V(r) = \pi r^2 \times 3(10 - r) = 3\pi r^2 (10 - r)$$ - En développant, $$V(r) = 3\pi (10r^2 - r^3) = 30\pi r^2 - 3\pi r^3$$ 2. Déterminer la fonction dérivée $V'(r)$. - On dérive $V(r)$ par rapport à $r$ : $$V'(r) = 30\pi \times 2r - 3\pi \times 3r^2 = 60\pi r - 9\pi r^2$$ - On peut factoriser : $$V'(r) = 3\pi r (20 - 3r)$$ 3. Étudier le signe de $V'(r)$ et en déduire les variations de $V$. - Les racines de $V'(r)$ sont $r=0$ et $r=\frac{20}{3} \approx 6.67$. - Pour $r \in [0,10]$ (car $r$ ne peut pas dépasser 10), on étudie le signe : - Pour $r \in (0, \frac{20}{3})$, $V'(r) > 0$ donc $V$ est croissante. - Pour $r \in (\frac{20}{3}, 10)$, $V'(r) < 0$ donc $V$ est décroissante. 4. Conclusion : - Le volume est maximal pour $r = \frac{20}{3} \approx 6.67$. --- 2. **Problème 2 : Bénéfice d'un artisan** 1. a. Coûts fixes : - Les coûts fixes correspondent à $C(0)$ : $$C(0) = 0,01 \times 0^3 - 1,05 \times 0^2 + 91 \times 0 + 225 = 225$$ - Donc, les coûts fixes sont 225. b. Coût de production de 25 objets : $$C(25) = 0,01 \times 25^3 - 1,05 \times 25^2 + 91 \times 25 + 225$$ Calculons : $$25^3 = 15625, \quad 25^2 = 625$$ $$C(25) = 0,01 \times 15625 - 1,05 \times 625 + 2275 + 225 = 156,25 - 656,25 + 2275 + 225$$ $$= (156,25 - 656,25) + (2275 + 225) = -500 + 2500 = 2000$$ c. Vérifier que $C$ est croissante sur $[0;70]$ : - Dérivons $C(x)$ : $$C'(x) = 0,03x^2 - 2,1x + 91$$ - Étudions le signe de $C'(x)$ sur $[0;70]$. - Le discriminant : $$\Delta = (-2,1)^2 - 4 \times 0,03 \times 91 = 4,41 - 10,92 = -6,51 < 0$$ - Comme $\Delta < 0$ et le coefficient de $x^2$ est positif, $C'(x) > 0$ pour tout $x$. - Donc, $C$ est strictement croissante sur $[0;70]$. 2. a. Expression de $B(x)$ : - Le bénéfice est la recette moins le coût : $$B(x) = 80x - C(x) = 80x - (0,01x^3 - 1,05x^2 + 91x + 225)$$ - Simplifions : $$B(x) = 80x - 0,01x^3 + 1,05x^2 - 91x - 225 = -0,01x^3 + 1,05x^2 - 11x - 225$$ b. Vérification que $B(25) = 0$ : $$B(25) = -0,01 \times 15625 + 1,05 \times 625 - 11 \times 25 - 225$$ $$= -156,25 + 656,25 - 275 - 225 = ( -156,25 + 656,25 ) - 500 = 500 - 500 = 0$$ 3. Étude des variations de $B$ sur $[0;70]$ : - Dérivons $B(x)$ : $$B'(x) = -0,03x^2 + 2,1x - 11$$ - Calculons le discriminant : $$\Delta = 2,1^2 - 4 \times (-0,03) \times (-11) = 4,41 - 1,32 = 3,09 > 0$$ - Racines de $B'(x)$ : $$x = \frac{-2,1 \pm \sqrt{3,09}}{2 \times (-0,03)}$$ $$\sqrt{3,09} \approx 1,758$$ $$x_1 = \frac{-2,1 - 1,758}{-0,06} = \frac{-3,858}{-0,06} = 64,3$$ $$x_2 = \frac{-2,1 + 1,758}{-0,06} = \frac{-0,342}{-0,06} = 5,7$$ - Comme le coefficient de $x^2$ est négatif, $B'(x)$ est positif entre les racines et négatif en dehors. - Donc, $B$ est croissante sur $[5,7;64,3]$ et décroissante ailleurs. 3. a. Pour que l'artisan gagne de l'argent, $B(x) > 0$. - On sait que $B(25) = 0$ et $B$ est croissante entre $5,7$ et $64,3$. - Donc, l'artisan commence à gagner de l'argent à partir de $x \approx 5,7$ objets. b. Le bénéfice est maximal pour $x \approx 64,3$ objets. --- **Résumé :** - Volume maximal du cylindre pour $r = \frac{20}{3} \approx 6,67$. - Coûts fixes : 225. - Coût pour 25 objets : 2000. - Fonction coût croissante. - Bénéfice $B(x) = -0,01x^3 + 1,05x^2 - 11x - 225$. - Artisan commence à gagner à partir de 6 objets environ. - Bénéfice maximal pour environ 64 objets.