1. Задача: Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 + 2n + \ln n}{n^5 + ne^n + 3n}$$. 2. Формула и правило: Для исследования сходимости используем сравнение с более простым рядом. При больших $n$ доминируют старшие степени и экспоненты. 3. Анализ: $$\frac{3n^2 + 2n + \ln n}{n^5 + ne^n + 3n} \sim \frac{3n^2}{ne^n} = \frac{3n^2}{ne^n} = \frac{3n}{e^n}$$ при $n \to \infty$. 4. Ряд $$\sum \frac{3n}{e^n}$$ сходится по признаку сравнения с геометрическим рядом с основанием $\frac{1}{e} < 1$. 5. Следовательно, исходный ряд сходится. --- 1. Задача: Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\left(1 - \cos\frac{1}{n} \right)$$. 2. Формула и правило: Используем разложение косинуса в ряд Тейлора: $$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$$ при $x \to 0$. 3. Анализ: $$1 - \cos\frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}$$. 4. Тогда общий член: $$\sqrt{n} \cdot \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2} n^{-3/2}$$. 5. Ряд $$\sum n^{-3/2}$$ сходится, так как $3/2 > 1$. 6. Следовательно, исходный ряд сходится. --- 1. Задача: Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{\left(3 + \frac{1}{n}\right)^n}$$. 2. Формула и правило: Рассмотрим основание степени: $$3 + \frac{1}{n} \to 3$$ при $n \to \infty$. 3. Анализ: $$\left(3 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 3^n$$. 4. Тогда общий член: $$\frac{n^2}{3^n}$$. 5. Ряд $$\sum \frac{n^2}{3^n}$$ сходится по признаку Даламбера (или корня), так как знаменатель растет экспоненциально. 6. Следовательно, исходный ряд сходится. --- 1. Задача: Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\cos \frac{1}{n^2}\right)^{-n^5}$$. 2. Формула и правило: Используем разложение косинуса: $$\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$$ при $x \to 0$. 3. Анализ: $$\cos \frac{1}{n^2} \sim 1 - \frac{1}{2n^4}$$. 4. Тогда $$\left(\cos \frac{1}{n^2}\right)^{-n^5} = \left(1 - \frac{1}{2n^4}\right)^{-n^5} = \left(\left(1 - \frac{1}{2n^4}\right)^{-2n^4}\right)^{\frac{n^5}{2n^4}}$$. 5. При $n \to \infty$: $$\left(1 - \frac{1}{2n^4}\right)^{-2n^4} \to e^1 = e$$. 6. Тогда общий член примерно: $$e^{\frac{n^5}{2n^4}} = e^{\frac{n}{2}}$$, который стремится к бесконечности. 7. Следовательно, общий член не стремится к нулю, ряд расходится. --- Ответ: Первый, второй и третий ряды сходятся, четвертый ряд расходится.