1. Το πρόβλημα ζητά να αποδείξουμε ότι για τη συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής και ισχύει $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x-1)}{x^2 - x} = 1,$$ έχουμε $f(0) = 0$ και $f'(0) = 1$. 2. Ξεκινάμε με τον ορισμό του ορίου και παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής $x^2 - x = x(x-1)$. 3. Για να υπάρχει το όριο και να είναι πεπερασμένο, ο αριθμητής πρέπει να μηδενίζεται όταν ο παρονομαστής μηδενίζεται, δηλαδή όταν $x \to 0$ ή $x \to 1$. 4. Εξετάζουμε το όριο καθώς $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x-1)}{x^2 - x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x-1)}{x(x-1)} = 1.$$ 5. Θέτουμε $t = x - 1$, άρα όταν $x \to 0$, $t \to -1$. Το όριο γίνεται: $$\lim_{t \to -1} \frac{f(t)}{(t+1)^2 - (t+1)} = \lim_{t \to -1} \frac{f(t)}{t^2 + 2t + 1 - t - 1} = \lim_{t \to -1} \frac{f(t)}{t^2 + t}.$$ 6. Για να υπάρχει το όριο, ο παρονομαστής μηδενίζεται στο $t = -1$, άρα πρέπει και ο αριθμητής να μηδενίζεται εκεί: $$f(-1) = 0.$$ 7. Επιστρέφουμε στο αρχικό όριο και εξετάζουμε το όριο καθώς $x \to 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x-1)}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x-1)}{x(x-1)}.$$ 8. Όταν $x \to 1$, $x-1 \to 0$, οπότε: $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x-1)}{x(x-1)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{(h+1)h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h(h+1)}.$$ 9. Για να υπάρχει το όριο, πρέπει $f(0) = 0$ ώστε να μη μηδενίζεται ο παρονομαστής. 10. Έτσι, το όριο γίνεται: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h(h+1)} = 1.$$ 11. Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με $h$: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} \cdot \frac{1}{h+1} = 1.$$ 12. Επειδή $\lim_{h \to 0} (h+1) = 1$, έχουμε: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 1.$$ 13. Από τον ορισμό της παραγώγου: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 1.$$ 14. Συμπερασματικά, αποδείξαμε ότι: - $f(0) = 0$ - $f'(0) = 1$. 15. Στη συνέχεια, για το β) ζητείται να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $(0,0)$ σχηματίζει γωνία $\omega = \frac{\pi}{4}$ με τον άξονα $x'x$. 16. Η κλίση της εφαπτομένης είναι $f'(0) = 1$. 17. Η γωνία $\omega$ που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα $x'x$ δίνεται από: $$\tan \omega = |f'(0)| = 1.$$ 18. Άρα: $$\omega = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.$$ 19. Συνεπώς, η εφαπτομένη σχηματίζει γωνία $\frac{\pi}{4}$ με τον άξονα $x'x$ όπως ζητείται.