1. Állítsuk fel a feladatot: Határozzuk meg a valós számok legnagyobb részhalmazát, amelyen az $$f(x) = \arcsin \frac{2x-3}{\sqrt{4 - 3x}}$$ függvény értelmezhető. 2. Az $\arcsin y$ függvény értelmezési tartománya $[-1,1]$, tehát a tört kifejezésnek $$-1 \leq \frac{2x-3}{\sqrt{4 - 3x}} \leq 1$$ értékek között kell lennie. 3. A nevezőben lévő gyök értelmezési tartománya: $$4 - 3x \geq 0 \implies x \leq \frac{4}{3}$$ és a nevező nem lehet nulla, tehát $$4 - 3x > 0 \implies x < \frac{4}{3}$$ 4. Vizsgáljuk meg a tört értéktartományát. Mivel a nevező pozitív (gyök miatt), szorozhatunk vele egyenlőtlenségeket: Először: $$\frac{2x-3}{\sqrt{4 - 3x}} \leq 1 \implies 2x - 3 \leq \sqrt{4 - 3x}$$ Másodszor: $$-1 \leq \frac{2x-3}{\sqrt{4 - 3x}} \implies -\sqrt{4 - 3x} \leq 2x - 3$$ 5. Oldjuk meg az első egyenlőtlenséget: $$2x - 3 \leq \sqrt{4 - 3x}$$ Négyzetre emelés (mindkét oldal nem negatív, mert a gyök mindig $\geq 0$, és a bal oldal lehet negatív, ezért először átrendezzük): Átrendezve: $$2x - 3 - \sqrt{4 - 3x} \leq 0$$ Négyzetre emelés előtt vizsgáljuk meg a bal oldal előjelét, de egyszerűbb a négyzetre emelést a következő módon végezni: Átrendezzük: $$2x - 3 \leq \sqrt{4 - 3x}$$ Mindkét oldal $\geq 0$ kell legyen, vagy külön eseteket kell vizsgálni. Vizsgáljuk meg, mikor $2x - 3 \geq 0$: $$2x - 3 \geq 0 \implies x \geq \frac{3}{2}$$ De $x < \frac{4}{3} \approx 1.333$, így nincs metszet, tehát $2x - 3 < 0$ az értelmezési tartományban. Tehát $2x - 3 < 0$, így a bal oldal negatív, a jobb oldal pedig $\geq 0$, tehát az egyenlőtlét mindig teljesül: $$2x - 3 \leq \sqrt{4 - 3x}$$ 6. Oldjuk meg a második egyenlőtlenséget: $$-\sqrt{4 - 3x} \leq 2x - 3$$ Átrendezve: $$2x - 3 + \sqrt{4 - 3x} \geq 0$$ Mivel $\sqrt{4 - 3x} \geq 0$, a bal oldal értéke nagyobb vagy egyenlő, mint $2x - 3$. Vizsgáljuk meg, mikor $2x - 3 \geq 0$: $$x \geq \frac{3}{2}$$ Ez az érték kívül esik az értelmezési tartományon ($x < \frac{4}{3}$), így az értelmezési tartományban $2x - 3 < 0$. Mivel $\sqrt{4 - 3x} > 0$, a bal oldal mindig pozitív, tehát az egyenlőtlét teljesül. 7. Összefoglalva: - A nevező miatt: $$x < \frac{4}{3}$$ - A tört értéke mindig az $[-1,1]$ intervallumba esik az értelmezési tartományon belül. 8. Ellenőrizzük a nevező pozitivitását és a gyök értelmezését: $$4 - 3x > 0 \implies x < \frac{4}{3}$$ 9. Végső értelmezési tartomány: $$\boxed{(-\infty, \frac{4}{3})}$$ Ez a legbővebb valós részhalmaz, ahol a függvény értelmezhető.