1. **Problemstellung:** Wir sollen für die Bevölkerungsentwicklung und Geldanlage passende Exponentialfunktionen bestimmen und die fehlenden Werte in den Tabellen ausfüllen. 2. **Formel für Exponentialfunktionen:** Die allgemeine Form lautet $$P(t) = P_0 \cdot (1 + r)^t$$ - $P_0$ ist der Anfangswert (Population oder Anlagebetrag im Jahr 2020) - $r$ ist die jährliche Wachstumsrate (als Dezimalzahl, z.B. 0,02 für 2%) - $t$ ist die Anzahl der Jahre nach 2020 3. **Bevölkerungsentwicklung:** - Für Bulgarien: $P_0=6{,}9$, $r=-0{,}007$ - Für Deutschland: $P_0=83$, $r=0{,}002$ - Für Madagaskar: $P_0=27{,}7$, $r=0{,}026$ Berechnung für 2025 ($t=5$) und 2050 ($t=30$): Bulgarien: $$P(5) = 6{,}9 \cdot (1 - 0{,}007)^5 = 6{,}9 \cdot 0{,}9653 = 6{,}66$$ $$P(30) = 6{,}9 \cdot (1 - 0{,}007)^{30} = 6{,}9 \cdot 0{,}805 = 5{,}56$$ Deutschland: $$P(5) = 83 \cdot (1 + 0{,}002)^5 = 83 \cdot 1{,}01005 = 83{,}83$$ $$P(30) = 83 \cdot (1 + 0{,}002)^{30} = 83 \cdot 1{,}0618 = 88{,}17$$ Madagaskar: $$P(5) = 27{,}7 \cdot (1 + 0{,}026)^5 = 27{,}7 \cdot 1{,}136 = 31{,}47$$ $$P(30) = 27{,}7 \cdot (1 + 0{,}026)^{30} = 27{,}7 \cdot 2{,}094 = 58{,}04$$ 4. **Wann sind bestimmte Populationen erreicht?** Formel umstellen: $$P = P_0 (1 + r)^t \Rightarrow t = \frac{\ln(\frac{P}{P_0})}{\ln(1 + r)}$$ Bulgarien: Wann $P=5$? $$t = \frac{\ln(\frac{5}{6{,}9})}{\ln(0{,}993)} = \frac{\ln(0{,}7246)}{-0{,}00702} = \frac{-0{,}322}{-0{,}00702} = 45{,}9$$ Jahr: $2020 + 46 = 2066$ Wann $P=3$? $$t = \frac{\ln(\frac{3}{6{,}9})}{\ln(0{,}993)} = \frac{\ln(0{,}4348)}{-0{,}00702} = \frac{-0{,}833}{-0{,}00702} = 118{,}7$$ Jahr: $2020 + 119 = 2139$ Deutschland: Wann $P=90$? $$t = \frac{\ln(\frac{90}{83})}{\ln(1{,}002)} = \frac{\ln(1{,}0843)}{0{,}001998} = \frac{0{,}081}{0{,}001998} = 40{,}5$$ Jahr: $2020 + 41 = 2061$ Wann $P=100$? $$t = \frac{\ln(\frac{100}{83})}{\ln(1{,}002)} = \frac{\ln(1{,}2048)}{0{,}001998} = \frac{0{,}186}{0{,}001998} = 93{,}0$$ Jahr: $2020 + 93 = 2113$ Madagaskar: Wann $P=35$? $$t = \frac{\ln(\frac{35}{27{,}7})}{\ln(1{,}026)} = \frac{\ln(1{,}2635)}{0{,}0257} = \frac{0{,}234}{0{,}0257} = 9{,}1$$ Jahr: $2020 + 9 = 2029$ Wann $P=50$? $$t = \frac{\ln(\frac{50}{27{,}7})}{\ln(1{,}026)} = \frac{\ln(1{,}805)}{0{,}0257} = \frac{0{,}591}{0{,}0257} = 23{,}0$$ Jahr: $2020 + 23 = 2043$ 5. **Geldanlage:** - Formel: $$W(t) = W_0 \cdot (1 + r)^t$$ - $W_0$ Anfangswert 2020, $r$ jährliche Verzinsung Berechnung für 2024 ($t=4$) und 2032 ($t=12$): Fonds A: $W_0=2000$, $r=0{,}06$ $$W(4) = 2000 \cdot 1{,}06^4 = 2000 \cdot 1{,}2625 = 2525$$ $$W(12) = 2000 \cdot 1{,}06^{12} = 2000 \cdot 2{,}0122 = 4024$$ Fonds B: $W_0=13000$, $r=0{,}035$ $$W(4) = 13000 \cdot 1{,}035^4 = 13000 \cdot 1{,}1487 = 14933$$ $$W(12) = 13000 \cdot 1{,}035^{12} = 13000 \cdot 1{,}5116 = 19651$$ Fonds C: $W_0=7000$, $r=-0{,}004$ $$W(4) = 7000 \cdot 0{,}996^4 = 7000 \cdot 0{,}9841 = 6889$$ $$W(12) = 7000 \cdot 0{,}996^{12} = 7000 \cdot 0{,}953 = 6671$$ 6. **Wann erreichen die Fonds bestimmte Werte?** Umstellen: $$t = \frac{\ln(\frac{W}{W_0})}{\ln(1 + r)}$$ Fonds A: Wann $W=3000$? $$t = \frac{\ln(\frac{3000}{2000})}{\ln(1{,}06)} = \frac{\ln(1{,}5)}{0{,}0583} = \frac{0{,}405}{0{,}0583} = 6{,}95$$ Jahr: $2020 + 7 = 2027$ Wann $W=7500$? $$t = \frac{\ln(\frac{7500}{2000})}{\ln(1{,}06)} = \frac{\ln(3{,}75)}{0{,}0583} = \frac{1{,}321}{0{,}0583} = 22{,}66$$ Jahr: $2020 + 23 = 2043$ Fonds B: Wann $W=16000$? $$t = \frac{\ln(\frac{16000}{13000})}{\ln(1{,}035)} = \frac{\ln(1{,}2308)}{0{,}0344} = \frac{0{,}208}{0{,}0344} = 6{,}05$$ Jahr: $2020 + 6 = 2026$ Wann $W=40000$? $$t = \frac{\ln(\frac{40000}{13000})}{\ln(1{,}035)} = \frac{\ln(3{,}0769)}{0{,}0344} = \frac{1{,}124}{0{,}0344} = 32{,}67$$ Jahr: $2020 + 33 = 2053$ Fonds C: Wann $W=6500$? $$t = \frac{\ln(\frac{6500}{7000})}{\ln(0{,}996)} = \frac{\ln(0{,}9286)}{-0{,}00401} = \frac{-0{,}074}{-0{,}00401} = 18{,}45$$ Jahr: $2020 + 18 = 2038$ Wann $W=6000$? $$t = \frac{\ln(\frac{6000}{7000})}{\ln(0{,}996)} = \frac{\ln(0{,}8571)}{-0{,}00401} = \frac{-0{,}154}{-0{,}00401} = 38{,}4$$ Jahr: $2020 + 38 = 2058$ **Endergebnis:** | Land | 2025 (Mill.) | 2050 (Mill.) | Jahr für 5 Mill. | Jahr für 3 Mill. | |------------|--------------|--------------|------------------|------------------| | Bulgarien | 6,66 | 5,56 | 2066 | 2139 | | Deutschland| 83,83 | 88,17 | 2061 | 2113 | | Madagaskar | 31,47 | 58,04 | 2029 | 2043 | | Fonds | 2024 (€) | 2032 (€) | Jahr für 3000 € | Jahr für 7500 € | |-------|----------|----------|-----------------|-----------------| | A | 2525 | 4024 | 2027 | 2043 | | Fonds | 2024 (€) | 2032 (€) | Jahr für 16000 € | Jahr für 40000 € | |-------|----------|----------|------------------|------------------| | B | 14933 | 19651 | 2026 | 2053 | | Fonds | 2024 (€) | 2032 (€) | Jahr für 6500 € | Jahr für 6000 € | |-------|----------|----------|-----------------|-----------------| | C | 6889 | 6671 | 2038 | 2058 |