1. **Problem statement:** Berechne den Weg $b$ und die überstrichene Fläche $A_s$ der Minuten- und Stundenzeiger des Bremer Doms für verschiedene Zeitintervalle. 2. **Formeln und Regeln:** - Der Weg $b$ eines Zeigers auf einem Kreis mit Radius $r$ bei einem Winkel $\alpha$ (in Grad) ist: $$b = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360}$$ - Die überstrichene Fläche $A_s$ eines Kreissegments bei Winkel $\alpha$ ist: $$A_s = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360}$$ - Minutenzeiger: $r = 4{,}27$ m, Stundenzeiger: $r = 2{,}75$ m. - Winkel pro Stunde: Minutenzeiger $\alpha = 360^\circ$, Stundenzeiger $\alpha = 30^\circ$ (weil 360°/12 Stunden). 3. **Winkel für Zeitintervalle:** - 1 Stunde: Minutenzeiger $360^\circ$, Stundenzeiger $30^\circ$ - 1/2 Stunde: Minutenzeiger $180^\circ$, Stundenzeiger $15^\circ$ - 1/4 Stunde: Minutenzeiger $90^\circ$, Stundenzeiger $7{,}5^\circ$ - 1 Minute: Minutenzeiger $6^\circ$ (360°/60), Stundenzeiger $0{,}5^\circ$ (30°/60) 4. **Berechnung des Wegs $b$:** - Minutenzeiger: - 1 Stunde: $$b = 2\pi \cdot 4{,}27 \cdot \frac{360}{360} = 2\pi \cdot 4{,}27 = 26{,}83\text{ m}$$ - 1/2 Stunde: $$b = 2\pi \cdot 4{,}27 \cdot \frac{180}{360} = 2\pi \cdot 4{,}27 \cdot \frac{1}{2} = 13{,}42\text{ m}$$ - 1/4 Stunde: $$b = 2\pi \cdot 4{,}27 \cdot \frac{90}{360} = 2\pi \cdot 4{,}27 \cdot \frac{1}{4} = 6{,}71\text{ m}$$ - 1 Minute: $$b = 2\pi \cdot 4{,}27 \cdot \frac{6}{360} = 2\pi \cdot 4{,}27 \cdot \frac{1}{60} = 0{,}45\text{ m}$$ - Stundenzeiger: - 1 Stunde: $$b = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{30}{360} = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{1}{12} = 1{,}44\text{ m}$$ - 1/2 Stunde: $$b = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{15}{360} = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{1}{24} = 0{,}72\text{ m}$$ - 1/4 Stunde: $$b = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{7{,}5}{360} = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{1}{48} = 0{,}36\text{ m}$$ - 1 Minute: $$b = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{0{,}5}{360} = 2\pi \cdot 2{,}75 \cdot \frac{1}{720} = 0{,}015\text{ m}$$ 5. **Berechnung der Fläche $A_s$:** - Minutenzeiger: - 1 Stunde: $$A_s = \pi \cdot 4{,}27^2 \cdot \frac{360}{360} = \pi \cdot 18{,}23 = 57{,}26\text{ m}^2$$ - 1/2 Stunde: $$A_s = \pi \cdot 4{,}27^2 \cdot \frac{180}{360} = \pi \cdot 18{,}23 \cdot \frac{1}{2} = 28{,}63\text{ m}^2$$ - 1/4 Stunde: $$A_s = \pi \cdot 4{,}27^2 \cdot \frac{90}{360} = \pi \cdot 18{,}23 \cdot \frac{1}{4} = 14{,}32\text{ m}^2$$ - 1 Minute: $$A_s = \pi \cdot 4{,}27^2 \cdot \frac{6}{360} = \pi \cdot 18{,}23 \cdot \frac{1}{60} = 0{,}95\text{ m}^2$$ - Stundenzeiger: - 1 Stunde: $$A_s = \pi \cdot 2{,}75^2 \cdot \frac{30}{360} = \pi \cdot 7{,}56 \cdot \frac{1}{12} = 1{,}98\text{ m}^2$$ - 1/2 Stunde: $$A_s = \pi \cdot 2{,}75^2 \cdot \frac{15}{360} = \pi \cdot 7{,}56 \cdot \frac{1}{24} = 0{,}99\text{ m}^2$$ - 1/4 Stunde: $$A_s = \pi \cdot 2{,}75^2 \cdot \frac{7{,}5}{360} = \pi \cdot 7{,}56 \cdot \frac{1}{48} = 0{,}49\text{ m}^2$$ - 1 Minute: $$A_s = \pi \cdot 2{,}75^2 \cdot \frac{0{,}5}{360} = \pi \cdot 7{,}56 \cdot \frac{1}{720} = 0{,}041\text{ m}^2$$ 6. **Formeln für Länge des Kreisbogens und Kreisfläche:** - Länge des Kreisbogens (Weg $b$): $$b = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360}$$ - Überstrichene Fläche $A_s$: $$A_s = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360}$$ **Endergebnis:** | Zeit | Minutenzeiger Weg $b$ (m) | Stundenzeiger Weg $b$ (m) | Minutenzeiger Fläche $A_s$ (m²) | Stundenzeiger Fläche $A_s$ (m²) | |---------------|---------------------------|---------------------------|---------------------------------|--------------------------------| | 1 Stunde | 26,83 | 1,44 | 57,26 | 1,98 | | 1/2 Stunde | 13,42 | 0,72 | 28,63 | 0,99 | | 1/4 Stunde | 6,71 | 0,36 | 14,32 | 0,49 | | 1 Minute | 0,45 | 0,015 | 0,95 | 0,041 |