1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2^x$ mit einigen bekannten $y$-Werten. a) Finde die fehlenden $x$-Werte zu den gegebenen $y$-Werten. 2. **Formel und Regeln:** Der Logarithmus zur Basis $a$ von $b$ ist definiert als der Exponent, mit dem $a$ potenziert werden muss, um $b$ zu erhalten: $$\log_a b = x \iff a^x = b$$ Wichtig: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$. 3. **Lösung zu a):** Gegeben sind $y$-Werte: 4, 2, 1, 0{,}5, 0{,}25. Wir suchen $x$ mit $2^x = y$. - Für $y=4$: $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x=2$ (gegeben) - Für $y=2$: $2^x = 2 = 2^1 \Rightarrow x=1$ - Für $y=1$: $2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x=0$ - Für $y=0{,}5$: $2^x = 0{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow x=-1$ - Für $y=0{,}25$: $2^x = 0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} \Rightarrow x=-2$ 4. **Antwort a):** Die fehlenden $x$-Werte sind $1, 0, -1, -2$. 5. **Lösung zu b):** Gesucht sind $x$-Werte für $y=3$ und $y=1{,}5$. Da $f(x) = 2^x$, lösen wir $2^x = y$. - Für $y=3$: $x = \log_2 3$. Näherungswert mit Taschenrechner: $\log_2 3 \approx 1{,}58$. - Für $y=1{,}5$: $x = \log_2 1{,}5$. Näherungswert: $\log_2 1{,}5 \approx 0{,}58$. 6. **Zusammenfassung:** a) Fehlende $x$-Werte: $1, 0, -1, -2$. b) Näherungswerte: - Für $y=3$: $x \approx 1{,}58$. - Für $y=1{,}5$: $x \approx 0{,}58$.