1. **Problem statement:** Berechnen Sie, wie viele Mengeneinheiten (ME) der Grundstoffe G1 bis G4 für die fertigen Farben F1, F2 und F3 benötigt werden. 2. **Gegebene Matrizen:** Die Zusammensetzung der Mischfarben M1, M2, M3 aus den Grundstoffen G1 bis G4 ist: $$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}$$ Die Zusammensetzung der fertigen Farben F1, F2, F3 aus den Mischfarben M1, M2, M3 ist: $$B = \begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}$$ 3. **Formel:** Die Gesamtzusammensetzung der Grundstoffe für die fertigen Farben ergibt sich durch Matrixmultiplikation: $$R = A \times B$$ 4. **Matrixmultiplikation:** Berechnen wir die Elemente von $R$: $$R_{ij} = \sum_{k=1}^3 A_{ik} B_{kj}$$ Für $R$ mit Dimension $4 \times 3$: - $R_{11} = 0\cdot1 + 1\cdot2 + 0\cdot0 = 2$ - $R_{12} = 0\cdot2 + 1\cdot3 + 0\cdot2 = 3$ - $R_{13} = 0\cdot2 + 1\cdot3 + 0\cdot1 = 3$ - $R_{21} = 1\cdot1 + 0\cdot2 + 1\cdot0 = 1$ - $R_{22} = 1\cdot2 + 0\cdot3 + 1\cdot2 = 4$ - $R_{23} = 1\cdot2 + 0\cdot3 + 1\cdot1 = 3$ - $R_{31} = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 0\cdot0 = 1 + 4 + 0 = 5$ - $R_{32} = 1\cdot2 + 2\cdot3 + 0\cdot2 = 2 + 6 + 0 = 8$ - $R_{33} = 1\cdot2 + 2\cdot3 + 0\cdot1 = 2 + 6 + 0 = 8$ - $R_{41} = 1\cdot1 + 1\cdot2 + 2\cdot0 = 1 + 2 + 0 = 3$ - $R_{42} = 1\cdot2 + 1\cdot3 + 2\cdot2 = 2 + 3 + 4 = 9$ - $R_{43} = 1\cdot2 + 1\cdot3 + 2\cdot1 = 2 + 3 + 2 = 7$ 5. **Ergebnis:** $$R = \begin{pmatrix}2 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 5 & 8 & 8 \\ 3 & 9 & 7\end{pmatrix}$$ Dies entspricht dem Kontrollergebnis. --- 1. **Problem statement:** Berechnen Sie die Rohstoffkosten für jede Farbe F1, F2 und F3, wenn die Preise der Grundstoffe gegeben sind. 2. **Gegebene Preise:** - $p_{G1} = 0{,}02$ - $p_{G2} = 0{,}05$ - $p_{G3} = 0{,}08$ - $p_{G4} = 0{,}12$ 3. **Formel:** Die Kosten pro Farbe ergeben sich durch das Skalarprodukt der Rohstoffmenge mit den Preisen: $$p = p_{G}^T \times R$$ wobei $$p_{G} = \begin{pmatrix}0{,}02 \\ 0{,}05 \\ 0{,}08 \\ 0{,}12\end{pmatrix}$$ 4. **Berechnung:** Für jede Farbe $j$ gilt: $$p_j = 0{,}02 \cdot R_{1j} + 0{,}05 \cdot R_{2j} + 0{,}08 \cdot R_{3j} + 0{,}12 \cdot R_{4j}$$ - Für $F1$: $$p_1 = 0{,}02 \cdot 2 + 0{,}05 \cdot 1 + 0{,}08 \cdot 5 + 0{,}12 \cdot 3 = 0{,}04 + 0{,}05 + 0{,}4 + 0{,}36 = 0{,}85$$ - Für $F2$: $$p_2 = 0{,}02 \cdot 3 + 0{,}05 \cdot 4 + 0{,}08 \cdot 8 + 0{,}12 \cdot 9 = 0{,}06 + 0{,}2 + 0{,}64 + 1{,}08 = 1{,}98$$ - Für $F3$: $$p_3 = 0{,}02 \cdot 3 + 0{,}05 \cdot 3 + 0{,}08 \cdot 8 + 0{,}12 \cdot 7 = 0{,}06 + 0{,}15 + 0{,}64 + 0{,}84 = 1{,}69$$ 5. **Ergebnis:** $$p = \begin{pmatrix}0{,}85 & 1{,}98 & 1{,}69\end{pmatrix}$$ Dies entspricht dem Kontrollergebnis. --- 1. **Problem statement:** Stellen Sie die Materialverflechtung der Produktion in einem Verflechtungsdiagramm dar. 2. **Erklärung:** Ein Verflechtungsdiagramm zeigt die Verbindungen zwischen den Grundstoffen, Mischfarben und fertigen Farben. Es basiert auf den Matrizen $A$ und $B$. 3. **Details:** - Die Matrix $A$ zeigt, wie Grundstoffe G1 bis G4 zu Mischfarben M1 bis M3 kombiniert werden. - Die Matrix $B$ zeigt, wie Mischfarben M1 bis M3 zu fertigen Farben F1 bis F3 verarbeitet werden. 4. **Diagramm:** - Zeichnen Sie drei Ebenen: - Ebene 1: Grundstoffe G1, G2, G3, G4 - Ebene 2: Mischfarben M1, M2, M3 - Ebene 3: fertige Farben F1, F2, F3 - Verbinden Sie die Knoten entsprechend den Matrizenwerten: - Von G zu M mit Gewichten aus $A$ - Von M zu F mit Gewichten aus $B$ 5. **Hinweis:** Da hier keine Grafik erzeugt werden kann, ist die Beschreibung ausreichend, um das Verflechtungsdiagramm zu erstellen. --- **Zusammenfassung:** - Die Matrixmultiplikation $R = A \times B$ gibt die benötigten Grundstoffmengen für jede fertige Farbe. - Die Rohstoffkosten berechnen sich durch Multiplikation der Grundstoffpreise mit $R$. - Das Verflechtungsdiagramm visualisiert die Produktionsverflechtung anhand der Matrizen.