1. مسئله: درستی یا نادرستی عبارت‌ها را بررسی کنید. 2. بررسی عبارت الف: دو رویداد A و B مستقل هستند اگر و تنها اگر احتمال تقاطع آن‌ها برابر حاصل‌ضرب احتمال‌هایشان باشد، یعنی $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$، نه اینکه $A \cap B = \emptyset$ باشد. بنابراین این عبارت نادرست است. 3. بررسی عبارت ب: خروج از مرکز بیضی (eccentricity) عددی بین 0 و 1 است که هرچه به صفر نزدیک‌تر باشد، شکل بیضی به دایره نزدیک‌تر است. این عبارت درست است. 4. بررسی عبارت پ: نمودار تابع $y = 3f(x)$ با انبساط نمودار $y = f(x)$ در امتداد محور y به دست می‌آید، زیرا ضریب 3 در مقابل تابع باعث کشیدگی در جهت y می‌شود. این عبارت درست است. 5. جاهای خالی: الف) شکل حاصل از دوران یک مثلث قائم‌الزاویه حول یکی از اضلاع قائمه آن **مخروطی** است. ب) نقطه به طول $c$ از دامنه تابع $f$ که در آن $f'(c) = 0$ یا $f'(c)$ موجود نباشد را یک نقطه **انتقالی** یا **نقطه بحرانی** می‌نامیم. 6. جدول تطبیق: - الف) تابع در این بازه اکیداً صعودی است: (4) $(-4, 2)$ - ب) تابع در این بازه اکیداً نزولی است: (1) $(-\infty, -4)$ - پ) تابع در این بازه ثابت است: (2) $(2, +\infty)$ 7. یافتن تابع $g(x)$ از معادله $f(g(x)) = 3x^2 - 4$ با $f(x) = \sqrt[3]{x+2}$: $$f(g(x)) = \sqrt[3]{g(x) + 2} = 3x^2 - 4$$ پس: $$\sqrt[3]{g(x) + 2} = 3x^2 - 4$$ کوبیدن هر دو طرف به توان 3: $$g(x) + 2 = (3x^2 - 4)^3$$ بنابراین: $$g(x) = (3x^2 - 4)^3 - 2$$ 8. برای $f(x) = \sqrt{x - 2}$: الف) دامنه $f$ برابر است با $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$، پس دامنه $f^{-1}$ برابر برد $f$ است که $[0, +\infty)$ است. ب) برای محاسبه $f^{-1}(5)$: $$y = f(x) = \sqrt{x - 2} = 5 \Rightarrow x - 2 = 25 \Rightarrow x = 27$$ پس: $$f^{-1}(5) = 27$$ 9. معادله تابع سینوسی یا کسینوسی $f(x) = a \cos(bx) + 2$ یا $f(x) = a \sin(bx) + 2$ با دامنه $a$ و دوره تناوب $\frac{2\pi}{b}$ است. با توجه به نمودار و دامنه مشخص شده (مثلاً دامنه 3) و دوره تناوب $2\pi / b = 2\pi$, پس $b=1$. اگر دامنه 3 و جابجایی عمودی 2 باشد، معادله: $$f(x) = 3 \cos(x) + 2$$ یا $$f(x) = 3 \sin(x) + 2$$ بسته به شکل نمودار (اگر از 2 به بالا و پایین 3 واحد تغییر کند). 10. حل معادله مثلثاتی: $$x \cos x \sin x = \frac{\sqrt{r}}{4}$$ با استفاده از هویت مثلثاتی: $$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$$ پس: $$x \times \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{\sqrt{r}}{4} \Rightarrow x \sin(2x) = \frac{\sqrt{r}}{2}$$ جواب کلی معادله به صورت تابعی از $x$ و $r$ است و بسته به مقدار $r$ جواب‌های مختلف دارد. 11. محاسبه حدود: الف) $$\lim_{x \to \lambda} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x - 2}}$$ ب) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{7x^5 + 4}{x^5 + x^6} = \lim_{x \to +\infty} \frac{7 + \frac{4}{x^5}}{1 + x} = 0$$ پ) $$\lim_{x \to 4} \frac{[x] - 4}{4 - x}$$ که $[x]$ قسمت صحیح $x$ است. برای $x$ نزدیک به 4 از چپ، $[x] = 3$ و از راست $[x] = 4$, پس حد وجود ندارد. 12. مشتق تابع $f(x) = x^7 + 1$ در $x=3$ با تعریف مشتق: $$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^7 + 1 - (3^7 + 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^7 - 3^7}{h}$$ با استفاده از بسط دوجمله‌ای و حذف جمله‌های مشترک، مشتق برابر است با: $$f'(3) = 7 \times 3^6 = 7 \times 729 = 5103$$