1. مسئله: درستی یا نادرستی عبارات داده شده را مشخص کنید. 2. الف) عبارت: "مجموعه تهی زیرمجموعه‌ی تمام مجموعه‌ها است". فرمول: مجموعه تهی $\emptyset$ زیرمجموعه هر مجموعه است. توضیح: مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد و طبق تعریف زیرمجموعه، $\emptyset \subseteq A$ برای هر مجموعه $A$ درست است. نتیجه: ✓ درست است. 3. ب) عبارت: "اگر مجموعه‌ای دو عضو داشته باشد، تعداد زیرمجموعه‌هایش برابر است با $2^m$". فرمول: تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه با $m$ عضو برابر است با $2^m$. توضیح: اگر مجموعه دو عضو داشته باشد، تعداد زیرمجموعه‌ها $2^2=4$ است. نتیجه: ✓ درست است. 4. ج) عبارت: "در پرتاب یک تاس، احتمال آمدن اعداد زوج $\frac{1}{3}$ است". فرمول: احتمال = $\frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌ها}}$. توضیح: اعداد زوج روی تاس: 2، 4، 6 یعنی 3 حالت. کل حالت‌ها 6 است. احتمال = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ که برابر $\frac{1}{3}$ نیست. نتیجه: × نادرست است. 5. د) عبارت: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{25}{9}$. فرمول: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. محاسبه: $$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$$ که برابر $\frac{25}{9}$ نیست. نتیجه: × نادرست است. 6. هـ) عبارت: "دو مربع همواره متشابه‌اند". توضیح: همه مربع‌ها از نظر شکل و نسبت اضلاع مشابه هستند. نتیجه: ✓ درست است. 7. ر) عبارت: "اگر $x$ و $y$ مثبت باشند، آنگاه $|x + y| = y - x$". توضیح: چون $x,y > 0$، $|x + y| = x + y$ است و $x + y \neq y - x$ به طور کلی. نتیجه: × نادرست است. 8. مسئله: جاهای خالی را پر کنید. الف) داده‌ها و اطلاعات یک مسئله را **معلوم‌ها** می‌نامند. ب) نسبت تشابه دو شکل هم‌نهشت، همواره برابر **1** است. ج) قدرمطلق هر عدد مثبت برابر است با **خود آن عدد**. د) اجتماع اعداد گویا و اعداد گنگ را مجموعه اعداد **حقیقی** می‌نامند. هـ) مساحت یک مربع به ضلع $\sqrt{5}$ برابر است با: $$\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5$$ ر) دو لوزی همواره متشابه **نیستند**. 9. مسئله: گزینه صحیح را انتخاب کنید. الف) کدام یک از عبارات زیر نادرست است؟ (a) $N \subseteq Z$ درست است چون اعداد طبیعی زیرمجموعه اعداد صحیح هستند. (b) $Q \subseteq \hat{Q}$ نادرست است چون $\hat{Q}$ تعریف نشده یا اشتباه است. (c) $Q \cup \hat{Q} = R$ نادرست است چون $\hat{Q}$ تعریف نشده. (d) $Z \subseteq R$ درست است چون اعداد صحیح زیرمجموعه اعداد حقیقی هستند. نتیجه: گزینه (b) نادرست است. پاسخ نهایی: ردیف 1: الف) ✓، ب) ✓، ج) ×، د) ×، هـ) ✓، ر) × ردیف 2: الف) معلوم‌ها، ب) 1، ج) خود عدد، د) حقیقی، هـ) 5، ر) نیستند ردیف 3: گزینه نادرست (b)