1. Calculer les nombres suivants : **a)** Calcul de $a = \frac{2^7 \times 2^{-4}}{(2^5)^3}$ - Utilisons la règle des puissances : $x^m \times x^n = x^{m+n}$ et $(x^m)^n = x^{m \times n}$. - Simplifions le numérateur : $2^7 \times 2^{-4} = 2^{7 + (-4)} = 2^3$. - Simplifions le dénominateur : $(2^5)^3 = 2^{5 \times 3} = 2^{15}$. - Donc, $a = \frac{2^3}{2^{15}} = 2^{3 - 15} = 2^{-12}$. - Montrons la simplification avec annulation : $$\frac{\cancel{2^3} \times 2^{-4}}{(2^5)^3} = \frac{2^3}{2^{15}} = 2^{-12}$$ - Résultat final : $a = 2^{-12}$. **b)** Calcul de $b = 3^0 + 3^{-1} + 3^{-2}$ - Rappel : $3^0 = 1$. - $3^{-1} = \frac{1}{3}$. - $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. - Donc, $b = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{13}{9}$. **c)** Calcul de $c = \left(\frac{19}{5}\right)^{-3} \times \left(-\frac{2}{19}\right)^{-3}$ - Rappel : $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. - Donc, $\left(\frac{19}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{19}\right)^3 = \frac{5^3}{19^3} = \frac{125}{6859}$. - Et $\left(-\frac{2}{19}\right)^{-3} = \left(-\frac{19}{2}\right)^3 = \frac{(-19)^3}{2^3} = \frac{-6859}{8}$. - Multiplions : $c = \frac{125}{6859} \times \frac{-6859}{8} = \frac{125 \times (-6859)}{6859 \times 8}$. - Annulons $6859$ au numérateur et dénominateur : $$\frac{125 \times \cancel{-6859}}{\cancel{6859} \times 8} = \frac{125 \times (-1)}{8} = -\frac{125}{8}$$. - Résultat final : $c = -\frac{125}{8}$. 2. Compléter par : négatif ou positif - Le signe de $\left(\frac{-10}{9}\right)^{16}$ est **positif** car une puissance paire d'un nombre négatif est positive. - Le signe de $-\left(\frac{-3}{4}\right)^{-7}$ : - $\left(\frac{-3}{4}\right)^{-7}$ est négatif car la puissance est impaire et la base négative. - Le signe devant est négatif, donc $-$(négatif) = **positif**. - Le signe de $-\left[-\left(-3\right)^7\right]^{15}$ : - $(-3)^7$ est négatif (puissance impaire). - $-(-3)^7$ devient positif. - Élevé à la puissance 15 (impair), reste positif. - Le signe devant est négatif, donc le résultat est **négatif**. - Le signe de $\frac{2^{13} \times (-3)^{10}}{(-5)^7 \times 10^9}$ : - $2^{13}$ est positif. - $(-3)^{10}$ est positif (puissance paire). - $(-5)^7$ est négatif (puissance impaire). - $10^9$ est positif. - Le numérateur est positif, le dénominateur est négatif. - Donc le quotient est **négatif**. Exercice n°2 1. Écrire sous la forme d’une puissance d’exposant positif : **A)** $A = (-3)^5 \times (-3)^{-9}$ - Utilisons la règle : $x^m \times x^n = x^{m+n}$. - $A = (-3)^{5 + (-9)} = (-3)^{-4}$. - Pour exposant positif, $(-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4}$. - Résultat : $A = \frac{1}{(-3)^4}$. **B)** $B = \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{-2}^2$ - Simplifions l'exposant extérieur : $(-2)^2 = 4$. - Donc $B = \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^2\right)^4$. - $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. - Donc $B = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256}$. - En forme de puissance : $B = 4^{-4}$. **C)** $C = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-9} \times \left(\frac{3}{4}\right)$ - Regroupons les puissances de $\frac{4}{3}$ : $\left(\frac{4}{3}\right)^{2 + (-9)} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-7}$. - $\left(\frac{3}{4}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1}$. - Donc $C = \left(\frac{4}{3}\right)^{-7} \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-8}$. - Pour exposant positif : $C = \frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^8}$. **Réponses finales :** $a = 2^{-12}$ $b = \frac{13}{9}$ $c = -\frac{125}{8}$ Signes : $\left(\frac{-10}{9}\right)^{16}$ est positif $-\left(\frac{-3}{4}\right)^{-7}$ est positif $-\left[-\left(-3\right)^7\right]^{15}$ est négatif $\frac{2^{13} \times (-3)^{10}}{(-5)^7 \times 10^9}$ est négatif Puissances positives : $A = \frac{1}{(-3)^4}$ $B = 4^{-4}$ $C = \frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^8}$