1. **Énoncé du problème :** Montrer que la tribu $T$ engendrée par les ensembles $S_n = \{n, n+1, n+2\}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ est la tribu des parties de $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire $T = \mathcal{P}(\mathbb{Z})$. 2. **Formule et règles importantes :** Une tribu est une collection d'ensembles fermée par complémentation et union dénombrable. Pour montrer que $T = \mathcal{P}(\mathbb{Z})$, il suffit de montrer que tout singleton $\{k\}$ est dans $T$, car les singletons génèrent la tribu complète. 3. **Travail intermédiaire :** - Chaque $S_n$ contient trois entiers consécutifs : $n, n+1, n+2$. - Considérons $S_n$ et $S_{n+1}$ : $$S_n = \{n, n+1, n+2\}, \quad S_{n+1} = \{n+1, n+2, n+3\}$$ - Leur intersection est: $$S_n \cap S_{n+1} = \{n+1, n+2\}$$ - La différence symétrique permet d'isoler des singletons : $$S_n \setminus S_{n+1} = \{n\}$$ $$S_{n+1} \setminus S_n = \{n+3\}$$ 4. **Conclusion :** - Comme $\{n\} = S_n \setminus S_{n+1} \in T$ (car $T$ est une tribu, donc stable par différence), tous les singletons sont dans $T$. - Puisque $T$ contient tous les singletons, il contient toutes les parties de $\mathbb{Z}$ (car toute partie est une union de singletons). - Donc $T = \mathcal{P}(\mathbb{Z})$. **Réponse finale :** $$T = \mathcal{P}(\mathbb{Z})$$