1. **Énoncé du problème :** Un disque de centre O et de rayon $r$ tourne à une vitesse angulaire constante $\omega = 2$ rd/s autour de l'axe $Oz$. Un point $M$ part de $O$ sans vitesse initiale et se déplace vers $A$ sur la périphérie selon la loi horaire $x_1 = 2t$. On cherche à déterminer les vecteurs vitesse et accélération relatifs, d'entraînement, de Coriolis et absolus de $M$ dans le repère lié au disque $R_1$. 2. **Formules et règles importantes :** - Vitesse absolue : $$\vec{V}_a = \vec{V}_r + \vec{\omega} \times \vec{r}$$ - Accélération absolue : $$\vec{\Gamma}_a = \vec{\Gamma}_r + 2 \vec{\omega} \times \vec{V}_r + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$$ - $\vec{V}_r$ est la vitesse relative dans $R_1$, $\vec{\Gamma}_r$ l'accélération relative, $\vec{\Gamma}_c = 2 \vec{\omega} \times \vec{V}_r$ l'accélération de Coriolis, $\vec{\Gamma}_e = \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$ l'accélération d'entraînement. 3. **Calculs des vecteurs vitesse :** - Position de $M$ dans $R_1$ : $$\vec{r} = x_1 \hat{i}_1 = 2t \hat{i}_1$$ - Vitesse relative : $$\vec{V}_r = \frac{d\vec{r}}{dt} = 2 \hat{i}_1$$ - Vitesse d'entraînement : $$\vec{V}_e = \vec{\omega} \times \vec{r} = 2 \hat{k} \times (2t \hat{i}_1) = 4t \hat{j}_1$$ - Vitesse absolue : $$\vec{V}_a = \vec{V}_r + \vec{V}_e = 2 \hat{i}_1 + 4t \hat{j}_1$$ 4. **Calculs des vecteurs accélération :** - Accélération relative : $$\vec{\Gamma}_r = \frac{d\vec{V}_r}{dt} = 0$$ (car $\vec{V}_r$ est constant) - Accélération de Coriolis : $$\vec{\Gamma}_c = 2 \vec{\omega} \times \vec{V}_r = 2 \times 2 \hat{k} \times 2 \hat{i}_1 = 8 \hat{j}_1$$ - Accélération d'entraînement : $$\vec{\Gamma}_e = \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = 2 \hat{k} \times (2 \hat{k} \times 2t \hat{i}_1) = -8t \hat{i}_1$$ - Accélération absolue : $$\vec{\Gamma}_a = \vec{\Gamma}_r + \vec{\Gamma}_c + \vec{\Gamma}_e = 0 + 8 \hat{j}_1 - 8t \hat{i}_1 = -8t \hat{i}_1 + 8 \hat{j}_1$$ 5. **Calcul des modules au moment où $M$ arrive en $A$ :** - $M$ arrive en $A$ quand $x_1 = r$, donc $$2t = r \Rightarrow t = \frac{r}{2}$$ - Module de la vitesse absolue : $$V_a = \sqrt{(2)^2 + (4t)^2} = \sqrt{4 + 16t^2} = \sqrt{4 + 16 \left(\frac{r}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + 4r^2} = 2 \sqrt{1 + r^2}$$ - Module de l'accélération absolue : $$\Gamma_a = \sqrt{(-8t)^2 + 8^2} = \sqrt{64 t^2 + 64} = 8 \sqrt{t^2 + 1} = 8 \sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2 + 1} = 8 \sqrt{1 + \frac{r^2}{4}}$$