1. **Stel het probleem vast:** We hebben een starre staaf met lengte $L=1$ m en massa's $m_1=3$ kg en $m_2=2$ kg aan de uiteinden $q_1$ en $q_2$. De staaf beweegt in het $xy$-vlak met hoek $C6=5$ rad, hoeksnelheid $\omega=1$ rad/s en hoekversnelling $\alpha=-5$ rad/s$^2$. Er werkt een kracht $F_{q1,y}=20$ N verticaal op $q_1$. We moeten de horizontale kracht $F_{q1,x}$ op $q_1$ berekenen. 2. **Formules en regels:** - De positie van $q_2$ is $\vec{r}_{q2} = \vec{r}_{q1} + L(\cos\phi, \sin\phi)$. - De totale massa is $M = m_1 + m_2 = 5$ kg. - De zwaartekracht werkt naar beneden met $g=10$ m/s$^2$. - De versnelling van $q_1$ is $\vec{a}_{q1} = \frac{d\vec{v}_{q1}}{dt}$, maar niet gegeven, dus we gebruiken kinematica van rotatie en translatie. - De kracht op $q_1$ heeft componenten $F_{q1,x}$ en $F_{q1,y}=20$ N. - De hoekversnelling $\alpha$ en hoeksnelheid $\omega$ geven de hoekversnelling en centripetale versnelling van $q_2$ ten opzichte van $q_1$. 3. **Bereken de versnelling van $q_2$:** De relatieve positie van $q_2$ t.o.v. $q_1$ is $$\vec{r}_{rel} = L(\cos\phi, \sin\phi) = (\cos 5, \sin 5)$$ De relatieve versnelling van $q_2$ t.o.v. $q_1$ is $$\vec{a}_{rel} = \alpha \times L (-\sin\phi, \cos\phi) - \omega^2 L (\cos\phi, \sin\phi)$$ waarbij $\alpha = -5$ rad/s$^2$ en $\omega=1$ rad/s. Bereken: $$\alpha L (-\sin\phi, \cos\phi) = -5 \times 1 \times (-\sin 5, \cos 5) = (5 \sin 5, -5 \cos 5)$$ $$-\omega^2 L (\cos\phi, \sin\phi) = -1^2 \times 1 \times (\cos 5, \sin 5) = (-\cos 5, -\sin 5)$$ Dus $$\vec{a}_{rel} = (5 \sin 5 - \cos 5, -5 \cos 5 - \sin 5)$$ 4. **Versnelling van $q_1$:** We hebben $\vec{v}_{q1} = (-2, -2)$ m/s, maar geen directe versnelling. We nemen aan dat de versnelling van $q_1$ is $\vec{a}_{q1} = (a_{q1,x}, a_{q1,y})$ onbekend. 5. **Versnelling van $q_2$:** $$\vec{a}_{q2} = \vec{a}_{q1} + \vec{a}_{rel} = (a_{q1,x} + 5 \sin 5 - \cos 5, a_{q1,y} - 5 \cos 5 - \sin 5)$$ 6. **Krachten op de massa's:** Voor $m_1$ bij $q_1$ geldt: $$m_1 \vec{a}_{q1} = \vec{F}_{q1} + m_1 \vec{g} + \vec{R}$$ waarbij $\vec{R}$ de kracht van de staaf op $m_1$ is (interne kracht), maar aangezien alleen $\vec{F}_{q1}$ en zwaartekracht werken, en $\vec{R}$ intern is, kunnen we schrijven: $$m_1 \vec{a}_{q1} = \vec{F}_{q1} + m_1 \vec{g}$$ Voor $m_2$ bij $q_2$ geldt: $$m_2 \vec{a}_{q2} = m_2 \vec{g} + \vec{R}'$$ waarbij $\vec{R}'$ de kracht van de staaf op $m_2$ is (intern), gelijk en tegengesteld aan $\vec{R}$. 7. **Som van krachten op het systeem:** De totale externe kracht is $$\vec{F}_{ext} = \vec{F}_{q1} + (m_1 + m_2) \vec{g}$$ De totale massa is $M=5$ kg. De versnelling van het zwaartepunt is $$\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 \vec{a}_{q1} + m_2 \vec{a}_{q2}}{M}$$ 8. **Bereken $\vec{a}_{cm}$:** $$\vec{a}_{cm} = \frac{3 \vec{a}_{q1} + 2 (\vec{a}_{q1} + \vec{a}_{rel})}{5} = \vec{a}_{q1} + \frac{2}{5} \vec{a}_{rel}$$ 9. **Newton's tweede wet voor het systeem:** $$M \vec{a}_{cm} = \vec{F}_{q1} + M \vec{g}$$ Invullen geeft: $$5 \left( \vec{a}_{q1} + \frac{2}{5} \vec{a}_{rel} \right) = (F_{q1,x}, 20) + 5 (0, -10)$$ $$5 \vec{a}_{q1} + 2 \vec{a}_{rel} = (F_{q1,x}, 20) + (0, -50) = (F_{q1,x}, -30)$$ 10. **Los op voor $F_{q1,x}$ en $\vec{a}_{q1}$:** Schrijf de vectorvergelijking in componenten: $$5 a_{q1,x} + 2 (5 \sin 5 - \cos 5) = F_{q1,x}$$ $$5 a_{q1,y} + 2 (-5 \cos 5 - \sin 5) = -30$$ 11. **Gebruik momentvergelijking om $a_{q1,y}$ te elimineren:** De hoekversnelling $\alpha$ relateert aan het moment $M$ en traagheidsmoment $I$: $$M = I \alpha$$ Het moment veroorzaakt door $\vec{F}_{q1}$ en zwaartekracht op het systeem rond $q_1$ is: $$M = L F_{q1,x} \sin \phi + L (m_2 g) \cos \phi$$ Het traagheidsmoment van de massa's rond $q_1$ is: $$I = m_2 L^2 = 2 \times 1^2 = 2$$ 12. **Invullen:** $$L F_{q1,x} \sin 5 + 2 \times 10 \times \cos 5 = 2 \times (-5)$$ $$F_{q1,x} \sin 5 + 20 \cos 5 = -10$$ 13. **Los op voor $F_{q1,x}$:** $$F_{q1,x} = \frac{-10 - 20 \cos 5}{\sin 5}$$ 14. **Eindantwoord:** $$\boxed{F_{q1,x} = \frac{-10 - 20 \cos 5}{\sin 5}}$$ Dit is de exacte horizontale kracht op de staaf in $q_1$.