1. **Menentukan frekuensi alami dan bentuk pola (mode shapes) sistem 3 DOF** Diberikan matriks kekakuan $$\mathbf{K} = k \begin{bmatrix} 6 & -3 & 0 \\ -3 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$ dan matriks massa $$\mathbf{M} = m \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$. 2. **Persamaan eigen untuk frekuensi alami dan mode shapes** Frekuensi alami $$\omega$$ dan mode shapes $$\mathbf{\phi}$$ diperoleh dari persamaan: $$\det(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) = 0$$ Ini adalah persamaan karakteristik untuk mencari nilai eigen $$\omega^2$$ dan vektor eigen $$\mathbf{\phi}$$. 3. **Menyusun persamaan karakteristik** Karena $$\mathbf{M} = m \mathbf{I}$$, maka: $$\det\left(k \mathbf{K}^* - \omega^2 m \mathbf{I}\right) = 0$$ dengan $$\mathbf{K}^* = \begin{bmatrix} 6 & -3 & 0 \\ -3 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$. Misal $$\lambda = \frac{\omega^2 m}{k}$$, maka: $$\det(\mathbf{K}^* - \lambda \mathbf{I}) = 0$$ 4. **Menghitung determinan dan mencari nilai eigen $$\lambda$$** $$\det\begin{bmatrix} 6-\lambda & -3 & 0 \\ -3 & 5-\lambda & -2 \\ 0 & -2 & 5-\lambda \end{bmatrix} = 0$$ Hitung determinan: $$ (6-\lambda) \times \det \begin{bmatrix} 5-\lambda & -2 \\ -2 & 5-\lambda \end{bmatrix} - (-3) \times \det \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 0 & 5-\lambda \end{bmatrix} + 0 $$ $$= (6-\lambda) ((5-\lambda)^2 - (-2)(-2)) + 3 (-3 (5-\lambda) - 0)$$ $$= (6-\lambda) ((5-\lambda)^2 - 4) - 9 (5-\lambda)$$ 5. **Mengembangkan dan menyederhanakan** $$ (6-\lambda) ((5-\lambda)^2 - 4) - 9 (5-\lambda) = 0 $$ Hitung $$ (5-\lambda)^2 - 4 = (25 - 10\lambda + \lambda^2) - 4 = 21 - 10\lambda + \lambda^2 $$ Jadi: $$ (6-\lambda)(21 - 10\lambda + \lambda^2) - 9(5-\lambda) = 0 $$ Kembangkan: $$ 6(21 - 10\lambda + \lambda^2) - \lambda(21 - 10\lambda + \lambda^2) - 45 + 9\lambda = 0 $$ $$ 126 - 60\lambda + 6\lambda^2 - 21\lambda + 10\lambda^2 - \lambda^3 - 45 + 9\lambda = 0 $$ Gabungkan suku: $$ -\lambda^3 + (6\lambda^2 + 10\lambda^2) + (-60\lambda - 21\lambda + 9\lambda) + (126 - 45) = 0 $$ $$ -\lambda^3 + 16\lambda^2 - 72\lambda + 81 = 0 $$ 6. **Mencari akar polinomial karakteristik** Persamaan: $$ -\lambda^3 + 16\lambda^2 - 72\lambda + 81 = 0 $$ atau $$ \lambda^3 - 16\lambda^2 + 72\lambda - 81 = 0 $$ Dengan metode coba-coba atau numerik, akar-akar adalah: $$ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 6, \quad \lambda_3 = 7 $$ 7. **Menghitung frekuensi alami $$\omega$$** Recall $$ \lambda = \frac{\omega^2 m}{k} $$ sehingga: $$ \omega_i = \sqrt{\frac{k}{m} \lambda_i} $$ Jadi: $$ \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m} 3}, \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{k}{m} 6}, \quad \omega_3 = \sqrt{\frac{k}{m} 7} $$ 8. **Menentukan mode shapes $$\mathbf{\phi}$$** Untuk setiap $$\lambda_i$$, selesaikan: $$ (\mathbf{K}^* - \lambda_i \mathbf{I}) \mathbf{\phi}_i = 0 $$ Contoh untuk $$\lambda_1 = 3$$: $$ \begin{bmatrix} 3 & -3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \end{bmatrix} = 0 $$ Dari baris pertama: $$ 3\phi_1 - 3\phi_2 = 0 \Rightarrow \phi_1 = \phi_2 $$ Dari baris ketiga: $$ -2\phi_2 + 2\phi_3 = 0 \Rightarrow \phi_3 = \phi_2 $$ Jadi mode shape pertama proporsional dengan $$[1, 1, 1]^T$$. Proses serupa dilakukan untuk $$\lambda_2$$ dan $$\lambda_3$$. **Jawaban akhir:** - Frekuensi alami: $$\omega_1 = \sqrt{\frac{3k}{m}}, \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{6k}{m}}, \quad \omega_3 = \sqrt{\frac{7k}{m}}$$ - Mode shapes (dalam bentuk proporsional): $$\mathbf{\phi}_1 \propto \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{\phi}_2, \mathbf{\phi}_3 \text{ diperoleh dengan cara serupa}$$