1. **Nyatakan masalah:** Diberi pendulum yang terdiri daripada cakera dengan jisim 6 kg dan rod nipis CD dengan jisim 20 kg/m. Rod CD mempunyai panjang $L$ yang tidak diketahui. (i) Tentukan panjang $L$ supaya pusat jisim sistem berada di titik $O$. (ii) Tentukan momen inersia sistem berkenaan paksi yang berserenjang dengan muka surat dan melalui titik $O$. 2. **Formula dan peraturan penting:** - Pusat jisim sistem boleh ditentukan dengan formula pusat jisim gabungan: $$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, \quad y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$$ - Momen inersia gabungan adalah jumlah momen inersia setiap komponen berkenaan paksi yang sama, termasuk teorem paksi sejajar jika perlu: $$I_O = I_{cm} + md^2$$ 3. **Maklumat dan anggapan:** - Jisim cakera $m_d = 6$ kg. - Jari-jari cakera $R = 0.2$ m. - Rod CD mempunyai jisim per unit panjang $\lambda = 20$ kg/m. - Panjang rod CD adalah $L$ (tidak diketahui). - Titik $O$ adalah titik rujukan pusat jisim. 4. **Cari pusat jisim:** - Letakkan sistem koordinat dengan $O$ di asal. - Cakera terletak di titik $A$ pada jarak 1.3 m di bawah $O$ (diberi dalam soalan). - Jadi koordinat cakera adalah $(0, -1.3)$. - Jisim rod CD adalah $m_r = 20L$ kg. - Rod CD adalah mendatar, bermula dari $C$ ke $D$. - Titik $C$ berada pada $y=0.7$ m di atas $O$ (diberi), jadi koordinat $C$ adalah $(-L/2, 0.7)$ dan $D$ adalah $(L/2, 0.7)$. - Pusat jisim rod CD adalah di tengah rod, iaitu di $(0, 0.7)$. 5. **Tentukan pusat jisim gabungan:** - Jumlah jisim: $M = m_d + m_r = 6 + 20L$ - Koordinat pusat jisim gabungan: $$x_{cm} = \frac{6 \times 0 + 20L \times 0}{6 + 20L} = 0$$ $$y_{cm} = \frac{6 \times (-1.3) + 20L \times 0.7}{6 + 20L}$$ 6. **Pusat jisim di $O$ bermakna $y_{cm} = 0$:** $$0 = \frac{6 \times (-1.3) + 20L \times 0.7}{6 + 20L}$$ $$6 \times (-1.3) + 20L \times 0.7 = 0$$ $$-7.8 + 14L = 0$$ $$14L = 7.8$$ $$L = \frac{7.8}{14} = 0.557 \, m$$ 7. **Momen inersia sistem berkenaan paksi melalui $O$:** - Momen inersia cakera berkenaan paksi melalui pusat cakera: $$I_{d,cm} = \frac{1}{2} m_d R^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 0.2^2 = 0.12 \, kg\cdot m^2$$ - Jarak cakera ke $O$ adalah 1.3 m, jadi gunakan teorem paksi sejajar: $$I_d = I_{d,cm} + m_d d^2 = 0.12 + 6 \times 1.3^2 = 0.12 + 10.14 = 10.26 \, kg\cdot m^2$$ - Rod CD sebagai rod homogen mendatar, momen inersia berkenaan pusat rod: $$I_{r,cm} = \frac{1}{12} m_r L^2 = \frac{1}{12} \times 20L \times L^2 = \frac{20L^3}{12} = \frac{5L^3}{3}$$ - Jarak pusat rod ke $O$ adalah 0.7 m, jadi: $$I_r = I_{r,cm} + m_r d^2 = \frac{5L^3}{3} + 20L \times 0.7^2 = \frac{5L^3}{3} + 9.8L$$ - Masukkan nilai $L=0.557$ m: $$I_r = \frac{5 \times 0.557^3}{3} + 9.8 \times 0.557 = \frac{5 \times 0.1727}{3} + 5.46 = 0.288 + 5.46 = 5.75 \, kg\cdot m^2$$ 8. **Jumlah momen inersia:** $$I_O = I_d + I_r = 10.26 + 5.75 = 16.01 \, kg\cdot m^2$$ **Jawapan akhir:** (i) Panjang rod CD adalah $L = 0.557$ m supaya pusat jisim berada di $O$. (ii) Momen inersia sistem berkenaan paksi melalui $O$ adalah $16.01$ kg.m$^2$.