1. **Problemstellung:** Eine Masse $m$ rutscht eine Schräge mit Winkel $\alpha$ herunter, die an einem Wagen mit Masse $M$ befestigt ist. Gesucht sind die $x$- und $y$-Komponenten der Schwerpunktsgeschwindigkeit $\vec{v}_{SP}(t)$ des Systems, solange die Masse noch auf der Schräge rutscht. Die Masse startet aus der Ruhe bei $t=0$. Reibung wird vernachlässigt. 2. **Formel für den Schwerpunkt:** Der Schwerpunkt $\vec{r}_{SP}$ eines Systems aus zwei Massen ist gegeben durch $$\vec{r}_{SP} = \frac{M \vec{r}_W + m \vec{r}_m}{M + m}$$ mit $\vec{r}_W$ als Position des Wagens und $\vec{r}_m$ als Position der Masse $m$. 3. **Positionen definieren:** - Wagen bewegt sich nur horizontal, Position $\vec{r}_W = (x_W(t), 0)$. - Masse $m$ bewegt sich auf der Schräge, Position relativ zum Wagen: $$\vec{r}_{m/W} = s(t)(\cos\alpha, -\sin\alpha)$$ mit $s(t)$ als Strecke entlang der Schräge. Gesamtposition der Masse: $$\vec{r}_m = \vec{r}_W + \vec{r}_{m/W} = (x_W(t) + s(t)\cos\alpha, -s(t)\sin\alpha)$$ 4. **Geschwindigkeit des Schwerpunkts:** Ableitung nach der Zeit: $$\vec{v}_{SP} = \frac{M \vec{v}_W + m \vec{v}_m}{M + m}$$ mit $$\vec{v}_W = (\dot{x}_W, 0), \quad \vec{v}_m = (\dot{x}_W + \dot{s}\cos\alpha, -\dot{s}\sin\alpha)$$ 5. **Bewegungsgleichungen:** Da keine Reibung und nur horizontale Bewegung des Wagens, gilt Impulserhaltung horizontal: $$ (M + m) \dot{x}_W + m \dot{s} \cos\alpha = 0 $$ 6. **Kräfte auf Masse $m$:** Entlang der Schräge wirkt die Hangabtriebskraft: $$ F = m g \sin\alpha $$ Die Beschleunigung entlang der Schräge: $$ \ddot{s} = g \sin\alpha $$ 7. **Integration der Bewegung:** Startbedingungen: $s(0) = 0$, $\dot{s}(0) = 0$, $\dot{x}_W(0) = 0$ Lösung: $$ s(t) = \frac{1}{2} g \sin\alpha t^2, \quad \dot{s}(t) = g \sin\alpha t $$ 8. **Bestimmung von $\dot{x}_W$ aus Impulserhaltung:** $$ (M + m) \dot{x}_W + m \dot{s} \cos\alpha = 0 \Rightarrow \dot{x}_W = -\frac{m}{M + m} \dot{s} \cos\alpha = -\frac{m}{M + m} g \sin\alpha t \cos\alpha $$ 9. **Komponenten der Schwerpunktsgeschwindigkeit:** $$ v_{SP,x} = \frac{M \dot{x}_W + m (\dot{x}_W + \dot{s} \cos\alpha)}{M + m} = \frac{(M + m) \dot{x}_W + m \dot{s} \cos\alpha}{M + m} = \dot{x}_W + \frac{m}{M + m} \dot{s} \cos\alpha $$ Setze $\dot{x}_W$ ein: $$ v_{SP,x} = -\frac{m}{M + m} g \sin\alpha t \cos\alpha + \frac{m}{M + m} g \sin\alpha t \cos\alpha = 0 $$ $$ v_{SP,y} = \frac{M \cdot 0 + m (-\dot{s} \sin\alpha)}{M + m} = -\frac{m}{M + m} g \sin\alpha t \sin\alpha $$ 10. **Endergebnis:** Die $x$-Komponente der Schwerpunktsgeschwindigkeit ist null, die $y$-Komponente ist $$ v_{SP,y}(t) = -\frac{m}{M + m} g \sin\alpha \sin\alpha t = -\frac{m}{M + m} g \sin^2\alpha t $$ Das negative Vorzeichen zeigt die Bewegung nach unten. **Antwort:** $$\boxed{\vec{v}_{SP}(t) = \left(0, -\frac{m}{M + m} g \sin^2\alpha t \right)}$$