1. Planteamos el problema: Dado un espacio de medida $(X, \mathcal{M}, \mu)$ y una sucesión de conjuntos medibles $(M_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tales que cada $x \in X$ pertenece como máximo a dos conjuntos de la sucesión, debemos probar que: $$\mu\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} M_n\right) \geq \frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{N}} \mu(M_n)$$ 2. Recordemos que la medida es subaditiva, es decir: $$\mu\left(\bigcup_{n} M_n\right) \leq \sum_n \mu(M_n)$$ pero aquí queremos una cota inferior, aprovechando la condición de que cada punto pertenece a lo sumo a dos conjuntos. 3. Definamos la función indicadora de cada conjunto: $$\chi_{M_n}(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in M_n \\ 0 & \text{si no} \end{cases}$$ Entonces, para cada $x \in X$: $$\sum_{n} \chi_{M_n}(x) \leq 2$$ por hipótesis. 4. Integrando esta desigualdad sobre $X$ con respecto a la medida $\mu$: $$\int_X \sum_n \chi_{M_n}(x) d\mu(x) \leq \int_X 2 \, d\mu(x) = 2 \mu(X)$$ Pero la integral de la suma es la suma de las integrales (por linealidad): $$\sum_n \int_X \chi_{M_n}(x) d\mu(x) = \sum_n \mu(M_n)$$ 5. Por otro lado, la suma de indicadores satisface: $$\sum_n \chi_{M_n}(x) \geq \chi_{\bigcup_n M_n}(x)$$ ya que si $x$ pertenece a algún $M_n$, la suma es al menos 1. 6. Por lo tanto: $$\int_X \sum_n \chi_{M_n}(x) d\mu(x) \geq \int_X \chi_{\bigcup_n M_n}(x) d\mu(x) = \mu\left(\bigcup_n M_n\right)$$ 7. Combinando las desigualdades: $$\mu\left(\bigcup_n M_n\right) \leq \int_X \sum_n \chi_{M_n}(x) d\mu(x) \leq 2 \mu\left(\bigcup_n M_n\right)$$ pero de la integral de la suma tenemos que es igual a $\sum_n \mu(M_n)$, por lo que: $$\sum_n \mu(M_n) \leq 2 \mu\left(\bigcup_n M_n\right)$$ 8. Finalmente, despejamos: $$\mu\left(\bigcup_n M_n\right) \geq \frac{1}{2} \sum_n \mu(M_n)$$ que es lo que queríamos demostrar. Esta desigualdad refleja que, dado que cada punto pertenece a lo sumo a dos conjuntos, la medida de la unión no puede ser demasiado pequeña en comparación con la suma de las medidas individuales.