1. Problemstellung: Gegeben ist eine Menge $D \subseteq \mathbb{N}$. Zu jedem $x \in D$ sollen die drei auf $x$ folgenden Zahlen betrachtet werden, und es sollen diejenigen ausgewählt werden, die durch 3 teilbar sind. 2. Definition: Die drei auf $x$ folgenden Zahlen sind $x+1$, $x+2$ und $x+3$. 3. Ziel: Bestimme aus $\{x+1, x+2, x+3\}$ diejenigen Zahlen, die durch 3 teilbar sind, also solche, für die gilt: $$ (x+k) \equiv 0 \pmod{3} \quad \text{für } k \in \{1,2,3\} $$ 4. Analyse: Da $x$ eine natürliche Zahl ist, betrachten wir den Rest von $x$ bei Division durch 3, also $r = x \bmod 3$. 5. Fallunterscheidung: - Wenn $r=0$, dann ist $x$ durch 3 teilbar. - $x+1 \equiv 1 \pmod{3}$ (nicht teilbar) - $x+2 \equiv 2 \pmod{3}$ (nicht teilbar) - $x+3 \equiv 0 \pmod{3}$ (teilbar) - Wenn $r=1$: - $x+1 \equiv 2 \pmod{3}$ (nicht teilbar) - $x+2 \equiv 0 \pmod{3}$ (teilbar) - $x+3 \equiv 1 \pmod{3}$ (nicht teilbar) - Wenn $r=2$: - $x+1 \equiv 0 \pmod{3}$ (teilbar) - $x+2 \equiv 1 \pmod{3}$ (nicht teilbar) - $x+3 \equiv 2 \pmod{3}$ (nicht teilbar) 6. Zusammenfassung: Die durch 3 teilbaren Zahlen unter $\{x+1, x+2, x+3\}$ sind: - Für $x \equiv 0 \pmod{3}$: $x+3$ - Für $x \equiv 1 \pmod{3}$: $x+2$ - Für $x \equiv 2 \pmod{3}$: $x+1$ 7. Endergebnis: Die Funktion $f:D \to \{x+1,x+2,x+3\}$, die die durch 3 teilbaren Nachfolger von $x$ liefert, ist $$ f(x) = x + (3 - (x \bmod 3)) $$ Dies gibt immer die kleinste Zahl unter den drei Nachfolgern an, die durch 3 teilbar ist.