1. Masalah: Tentukan luas permukaan dari permukaan $z = x^2 + 2y$ di atas segitiga $T$ dengan titik sudut $(0,0)$, $(1,0)$, dan $(1,1)$.\n\n2. Rumus luas permukaan permukaan $z = f(x,y)$ di atas daerah $D$ adalah $$A = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA.$$\n\n3. Hitung turunan parsial:\n$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x,$$\n$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2.$$\n\n4. Substitusi ke dalam rumus luas permukaan:\n$$\sqrt{1 + (2x)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4x^2 + 4} = \sqrt{5 + 4x^2}.$$\n\n5. Daerah $T$ adalah segitiga dengan batas $0 \leq x \leq 1$ dan $0 \leq y \leq x$.\n\n6. Integral luas permukaan menjadi:\n$$A = \int_0^1 \int_0^x \sqrt{5 + 4x^2} \, dy \, dx.$$\n\n7. Karena integran tidak bergantung pada $y$, integral dalam terhadap $y$ adalah:\n$$\int_0^x \sqrt{5 + 4x^2} \, dy = x \sqrt{5 + 4x^2}.$$\n\n8. Jadi, integral menjadi:\n$$A = \int_0^1 x \sqrt{5 + 4x^2} \, dx.$$\n\n9. Substitusi $u = 5 + 4x^2$, maka $$du = 8x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{du}{8}.$$\nBatas baru: ketika $x=0$, $u=5$; ketika $x=1$, $u=9$.\n\n10. Integral menjadi:\n$$A = \int_5^9 \sqrt{u} \frac{du}{8} = \frac{1}{8} \int_5^9 u^{1/2} \, du.$$\n\n11. Hitung integral:\n$$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_5^9 = \frac{1}{12} \left(9^{3/2} - 5^{3/2}\right).$$\n\n12. Hitung nilai:\n$$9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27,$$\n$$5^{3/2} = (\sqrt{5})^3 = 5 \sqrt{5}.$$\n\n13. Jadi, luas permukaan adalah:\n$$A = \frac{1}{12} (27 - 5 \sqrt{5}).$$\n\nJawaban akhir: $$\boxed{\frac{27 - 5 \sqrt{5}}{12}}.$$