1. Zadání problému: Vypočítáme Taylorův polynom 1. řádu funkce $$f(x,y) = \frac{e^{3x}}{x^2 + xy + y^2}$$ v bodě $$A = (0,1)$$. 2. Vzorec pro Taylorův polynom 1. řádu funkce dvou proměnných v bodě $$(a,b)$$ je: $$ P_1(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b) $$ Kde $f_x$ a $f_y$ jsou parciální derivace podle $x$ a $y$. 3. Nejprve spočítáme hodnotu funkce v bodě $A$: $$ f(0,1) = \frac{e^{3\cdot 0}}{0^2 + 0\cdot 1 + 1^2} = \frac{1}{1} = 1 $$ 4. Spočítáme parciální derivaci podle $x$: $$ f(x,y) = \frac{e^{3x}}{x^2 + xy + y^2} = \frac{u}{v}, \quad u = e^{3x}, \quad v = x^2 + xy + y^2 $$ Použijeme pravidlo pro derivaci podílu: $$ f_x = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Kde: $$ u' = 3e^{3x}, \quad v' = 2x + y $$ Tedy: $$ f_x = \frac{3e^{3x}(x^2 + xy + y^2) - e^{3x}(2x + y)}{(x^2 + xy + y^2)^2} $$ 5. Spočítáme $f_x$ v bodě $(0,1)$: $$ f_x(0,1) = \frac{3e^{0}(0 + 0 + 1) - e^{0}(0 + 1)}{1^2} = \frac{3 \cdot 1 - 1}{1} = 2 $$ 6. Spočítáme parciální derivaci podle $y$: $$ f_y = \frac{0 \cdot v - u \cdot v_y}{v^2} = - \frac{u v_y}{v^2} $$ Protože $u = e^{3x}$ nezávisí na $y$, $u_y = 0$. Derivace $v$ podle $y$ je: $$ v_y = x + 2y $$ Tedy: $$ f_y = - \frac{e^{3x}(x + 2y)}{(x^2 + xy + y^2)^2} $$ 7. Spočítáme $f_y$ v bodě $(0,1)$: $$ f_y(0,1) = - \frac{e^{0}(0 + 2 \cdot 1)}{1^2} = -2 $$ 8. Sestavíme Taylorův polynom 1. řádu: $$ P_1(x,y) = 1 + 2(x - 0) - 2(y - 1) = 1 + 2x - 2y + 2 = 3 + 2x - 2y $$ Výsledek: $$ \boxed{P_1(x,y) = 3 + 2x - 2y} $$