1. Problema: Sumar los números complejos $(3 + 2i) + (5 + 3i)$. Fórmula: $(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$. Cálculo: $$ (3 + 2i) + (5 + 3i) = (3+5) + (2+3)i = 8 + 5i $$ 2. Problema: Multiplicar $(2 - 3i)(4 - 3i)$. Fórmula: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$. Cálculo: $$ (2 - 3i)(4 - 3i) = 2\cdot4 - 2\cdot3i - 3i\cdot4 + (-3i)(-3i) $$ $$ = 8 - 6i - 12i + 9i^2 $$ Recordando que $i^2 = -1$: $$ = 8 - 18i + 9(-1) = 8 - 18i - 9 = -1 - 18i $$ 3. Problema: Restar $(4 + 7i) - (12 - 9i)$. Fórmula: $(a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i$. Cálculo: $$ (4 + 7i) - (12 - 9i) = (4-12) + (7 - (-9))i = -8 + 16i $$ 4. Problema: Dividir $\frac{3 - i}{2 + 2i}$. Fórmula: $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a+bi)(c - di)}{(c+di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$. Cálculo: Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador: $$ \frac{3 - i}{2 + 2i} \times \frac{2 - 2i}{2 - 2i} = \frac{(3 - i)(2 - 2i)}{(2 + 2i)(2 - 2i)} $$ Calculamos numerador: $$ (3)(2) - (3)(2i) - (i)(2) + (i)(2i) = 6 - 6i - 2i + 2i^2 = 6 - 8i + 2(-1) = 6 - 8i - 2 = 4 - 8i $$ Denominador: $$ 2^2 - (2i)^2 = 4 - 4i^2 = 4 - 4(-1) = 4 + 4 = 8 $$ Por lo tanto: $$ \frac{4 - 8i}{8} = \frac{\cancel{4} - 2\cancel{8}i}{\cancel{8}} = \frac{1}{2} - i $$ 5. Problema: Restar $(2 + 5i) - (9 - 4i)$. Cálculo: $$ (2 + 5i) - (9 - 4i) = (2-9) + (5 - (-4))i = -7 + 9i $$ 6. Problema: Sumar $(5 + 3i) + (-3 + i)$. Cálculo: $$ (5 + 3i) + (-3 + i) = (5-3) + (3+1)i = 2 + 4i $$ 7. Problema: Multiplicar $(-4 - 3i)(1 + 3i)$. Cálculo: $$ (-4)(1) + (-4)(3i) + (-3i)(1) + (-3i)(3i) = -4 - 12i - 3i - 9i^2 = -4 - 15i - 9(-1) = -4 - 15i + 9 = 5 - 15i $$ 8. Problema: Multiplicar $(-10 + 5i)(1 + i)$. Cálculo: $$ (-10)(1) + (-10)(i) + 5i(1) + 5i(i) = -10 - 10i + 5i + 5i^2 = -10 - 5i + 5(-1) = -10 - 5i - 5 = -15 - 5i $$ 9. Problema: Restar $(2 + 9i) - (-3 - 6i)$. Cálculo: $$ (2 + 9i) - (-3 - 6i) = (2 + 3) + (9 + 6)i = 5 + 15i $$ 10. Problema: Dividir $\frac{8 - i}{4 - 2i}$. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador: $$ \frac{8 - i}{4 - 2i} \times \frac{4 + 2i}{4 + 2i} = \frac{(8 - i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} $$ Numerador: $$ 8\cdot4 + 8\cdot2i - i\cdot4 - i\cdot2i = 32 + 16i - 4i - 2i^2 = 32 + 12i - 2(-1) = 32 + 12i + 2 = 34 + 12i $$ Denominador: $$ 4^2 - (2i)^2 = 16 - 4i^2 = 16 - 4(-1) = 16 + 4 = 20 $$ Por lo tanto: $$ \frac{34 + 12i}{20} = \frac{\cancel{2} \cdot 17 + \cancel{2} \cdot 6i}{\cancel{2} \cdot 10} = \frac{17}{10} + \frac{6}{10}i = 1.7 + 0.6i $$