1. Enunciado do problema: Calcular o produto $z_1 \times 2z_2$ e apresentar o resultado na forma trigonométrica, onde $$z_1 = -\sqrt{2} e^{\frac{\pi i}{4}}$$ $$z_2 = 6 - 2\sqrt{3}i$$ 2. Fórmulas e regras importantes: - A forma trigonométrica de um número complexo $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, onde $r$ é o módulo e $\theta$ o argumento. - O produto de dois números complexos na forma trigonométrica é dado por: $$z_1 z_2 = r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)$$ 3. Encontrar o módulo e argumento de $z_1$: - O módulo de $z_1$ é $r_1 = |z_1| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$. - O argumento de $z_1$ é $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$. - O sinal negativo em $z_1$ equivale a um ângulo adicional de $\pi$, então o argumento ajustado é: $$\theta_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$$ 4. Encontrar o módulo e argumento de $z_2$: - O módulo de $z_2$ é: $$r_2 = \sqrt{6^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 4 \times 3} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ - O argumento $\theta_2$ é: $$\theta_2 = \arctan\left( \frac{-2\sqrt{3}}{6} \right) = \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$$ 5. Calcular $2z_2$: - O módulo de $2z_2$ é $2r_2 = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$. - O argumento permanece $\theta_2 = -\frac{\pi}{6}$. 6. Calcular o produto $z_1 \times 2z_2$: - Módulo: $$r = r_1 \times 2r_2 = \sqrt{2} \times 8\sqrt{3} = 8 \sqrt{6}$$ - Argumento: $$\theta = \theta_1 + \theta_2 = \frac{5\pi}{4} + \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{15\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$$ 7. Resultado final na forma trigonométrica: $$z_1 \times 2z_2 = 8 \sqrt{6} \left( \cos \frac{13\pi}{12} + i \sin \frac{13\pi}{12} \right)$$ Este é o produto na forma trigonométrica, com módulo $8\sqrt{6}$ e argumento $\frac{13\pi}{12}$.