1. **Énoncé du problème :** Remplir les systèmes de numération, convertir des nombres entre bases, et effectuer des opérations arithmétiques en binaire. 2. **Systèmes de numération :** - Décimal (base 10) : symboles 0 à 9 - Octal (base 8) : symboles 0 à 7 - Hexadécimal (base 16) : symboles 0 à 9 et A à F - Binaire (base 2) : symboles 0 et 1 3. **Conversion de nombres décimaux en binaire :** - Exemple : (45)$_{10}$ en binaire Utiliser la division successive par 2 et noter les restes. 4. **Conversion base-octale et hexadécimale vers binaire (éclatement) :** - Chaque chiffre hexadécimal correspond à 4 bits binaires. - Chaque chiffre octal correspond à 3 bits binaires. 5. **Exemple :** - $(ABC3ED)_{16}$ en binaire : A=1010, B=1011, C=1100, 3=0011, E=1110, D=1101 Donc $(ABC3ED)_{16} = 101010111100001111101101_2$ - $(2238)_8$ en binaire : 2=010, 2=010, 3=011, 8=1000 (mais 8 n'existe pas en octal, donc erreur probable, supposons 7) Si $(2237)_8$, alors binaire = 010 010 011 111 6. **Multiplications binaires :** - Multiplier bit à bit comme en décimal, en décalant et additionnant. 7. **Conversions base 10 vers base X :** - Fraction décimale convertie en binaire par multiplication successive par 2. 8. **Conversions base X vers base 10 :** - Utiliser la formule $\sum_{i=0}^n d_i \times base^i$ 9. **Exemple de conversion hexadécimal vers décimal :** - $(F6AB)_{16} = 15 \times 16^3 + 6 \times 16^2 + 10 \times 16^1 + 11 \times 16^0 = 15 \times 4096 + 6 \times 256 + 10 \times 16 + 11 = 61440 + 1536 + 160 + 11 = 63147_{10}$ 10. **Exemple de conversion binaire fractionnaire vers décimal :** - $(110011.01)_2 = 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 + 0 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 51.25_{10}$ **Réponses finales :** - $(ABC3ED)_{16} = 101010111100001111101101_2$ - $(2237)_8 = 010010011111_2$ - $(F6AB)_{16} = 63147_{10}$ - $(110011.01)_2 = 51.25_{10}$