1. 問題陳述：已知A同B都係21600嘅正因數，且A>B。求有幾多種選擇A同B嘅方法，使得兩個數嘅最大公因數（GCD）係1。 2. 公式同規則： - 21600嘅質因數分解： $$21600 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2$$ - A同B都係21600嘅正因數，即A同B嘅質因數指數分別不超過21600嘅質因數指數。 - 最大公因數GCD(A,B) = 1，表示A同B冇共同嘅質因數。 3. 分析： - 由於A同B都係21600嘅因數，佢哋嘅質因數指數範圍係： - 2嘅指數：0至5 - 3嘅指數：0至3 - 5嘅指數：0至2 - GCD(A,B) = 1，表示喺每個質因數上，A同B嘅指數唔可以同時大於0。 - 換句話講，對每個質因數，A同B中最多只有一個數嘅指數大於0，另一個必須係0。 4. 計算每個質因數嘅分配方法： - 對於質因數2，指數範圍0至5，共6個可能指數。 - A嘅指數可以係0至5，B嘅指數可以係0至5。 - 但為咗GCD=1，唔可以兩者都大於0。 - 所以指數對嘅可能性係： - A=0，B=0 - A=0，B>0（5種） - A>0（5種），B=0 - 總共：1 + 5 + 5 = 11種 - 對於質因數3，指數範圍0至3，共4個可能指數。 - 同理，可能性係： - A=0，B=0 - A=0，B>0（3種） - A>0（3種），B=0 - 總共：1 + 3 + 3 = 7種 - 對於質因數5，指數範圍0至2，共3個可能指數。 - 同理，可能性係： - A=0，B=0 - A=0，B>0（2種） - A>0（2種），B=0 - 總共：1 + 2 + 2 = 5種 5. 總組合數： $$11 \times 7 \times 5 = 385$$ 6. 排除A=B嘅情況： - 唔同嘅A同B，且A>B。 - 其中A=B嘅情況係指A同B嘅指數完全相同，且GCD=1。 - 但GCD=1表示冇共同質因數，A=B即A同B完全相同，必須係1。 - 1係21600嘅因數，且GCD(1,1)=1。 - 所以唯一A=B且GCD=1嘅情況係A=B=1。 7. 因為A>B，排除A=B=1嘅情況。 8. 因為計算嘅385係包括所有A同B嘅組合（包括AB），而且A同B可以互換。 - 所以A>B嘅組合數係： $$\frac{385 - 1}{2} = \frac{384}{2} = 192$$ 答：有192種選擇A同B嘅方法，使得A同B都係21600嘅正因數，且A>B，且GCD(A,B)=1。