Question: 4) Să se arate că 24 \mid (5n^2 + 3)(n^4 + 8) pentru orice număr natural n.
5) Să se arate că 7 \mid 2222^{5555} + 5555^{2222}.
1. Problema 4: Să demonstrăm că 24 divide expresia $$(5n^2 + 3)(n^4 + 8)$$ pentru orice număr natural $n$.
2. Observăm că 24 = 8 \times 3, deci trebuie să arătăm că expresia este divizibilă atât cu 8, cât și cu 3.
3. Divizibilitatea cu 3:
Folosim faptul că pentru orice $a,b$, $(a \times b) \mod 3 = ((a \mod 3) \times (b \mod 3)) \mod 3$.
Calculăm $5n^2 + 3 \equiv 5n^2 + 0 \equiv 2n^2 \pmod{3}$ (deoarece $5 \equiv 2 \pmod{3}$).
Calculăm $n^4 + 8 \equiv n^4 + 2 \pmod{3}$ (deoarece $8 \equiv 2 \pmod{3}$).
Observăm că $n^2 \equiv 0,1,2 \pmod{3}$, iar $n^4 \equiv (n^2)^2 \pmod{3}$.
Pentru $n^2 \equiv 0$, $2n^2 \equiv 0$, iar $n^4 + 2 \equiv 0 + 2 = 2$, produsul $0 \times 2 = 0 \pmod{3}$.
Pentru $n^2 \equiv 1$, $2n^2 \equiv 2$, $n^4 \equiv 1$, deci $n^4 + 2 \equiv 3 \equiv 0$, produsul $2 \times 0 = 0 \pmod{3}$.
Pentru $n^2 \equiv 2$, $2n^2 \equiv 4 \equiv 1$, $n^4 \equiv (2)^2 = 4 \equiv 1$, deci $n^4 + 2 \equiv 1 + 2 = 3 \equiv 0$, produsul $1 \times 0 = 0 \pmod{3}$.
Deci expresia este divizibilă cu 3 pentru orice $n$.
4. Divizibilitatea cu 8:
Calculăm expresia modulo 8.
Observăm că $5n^2 + 3 \equiv 5n^2 + 3 \pmod{8}$ și $n^4 + 8 \equiv n^4 \pmod{8}$ (deoarece 8 \equiv 0).
Deci expresia este congruentă cu $(5n^2 + 3) n^4 \pmod{8}$.
Folosim faptul că $n^4 \equiv (n^2)^2 \pmod{8}$.
Testăm valorile posibile ale lui $n^2 \pmod{8}$:
- Dacă $n$ este par, $n^2$ este multiplu de 4, deci $n^2 \equiv 0,4 \pmod{8}$.
- Dacă $n$ este impar, $n^2 \equiv 1, 9 \equiv 1 \pmod{8}$.
Pentru $n^2 \equiv 0$:
$5n^2 + 3 \equiv 0 + 3 = 3$, $n^4 \equiv 0$, produsul $3 \times 0 = 0 \pmod{8}$.
Pentru $n^2 \equiv 4$:
$5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23 \equiv 7 \pmod{8}$, $n^4 \equiv 4^2 = 16 \equiv 0 \pmod{8}$, produsul $7 \times 0 = 0 \pmod{8}$.
Pentru $n^2 \equiv 1$:
$5 \times 1 + 3 = 8 \equiv 0 \pmod{8}$, $n^4 \equiv 1$, produsul $0 \times 1 = 0 \pmod{8}$.
Deci expresia este divizibilă cu 8 pentru orice $n$.
5. Concluzie:
Deoarece expresia este divizibilă cu 3 și cu 8, este divizibilă cu $\mathrm{lcm}(3,8) = 24$.
6. Problema 5: Să arătăm că 7 divide $$2222^{5555} + 5555^{2222}$$.
7. Folosim congruențe modulo 7.
Calculăm $2222 \mod 7$:
$2222 \div 7 = 317 \times 7 = 2219$, rest $3$, deci $2222 \equiv 3 \pmod{7}$.
Calculăm $5555 \mod 7$:
$5555 \div 7 = 793 \times 7 = 5551$, rest $4$, deci $5555 \equiv 4 \pmod{7}$.
8. Deci expresia este congruentă cu
$$3^{5555} + 4^{2222} \pmod{7}.$$
9. Folosim faptul că $\varphi(7) = 6$, unde $\varphi$ este funcția lui Euler, deci pentru orice $a$ coprim cu 7, $a^6 \equiv 1 \pmod{7}$.
10. Calculăm exponenții modulo 6:
$5555 \mod 6 = 5555 - 6 \times 925 = 5555 - 5550 = 5$.
$2222 \mod 6 = 2222 - 6 \times 370 = 2222 - 2220 = 2$.
11. Deci:
$$3^{5555} \equiv 3^5 \pmod{7}, \quad 4^{2222} \equiv 4^2 \pmod{7}.$$
12. Calculăm:
$3^5 = 3 \times 3^4 = 3 \times (3^2)^2 = 3 \times 9^2 = 3 \times 81$.
$9 \equiv 2 \pmod{7}$, deci $9^2 \equiv 2^2 = 4 \pmod{7}$.
Astfel, $3^5 \equiv 3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$.
$4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$.
13. Suma este:
$$3^{5555} + 4^{2222} \equiv 5 + 2 = 7 \equiv 0 \pmod{7}.$$
14. Concluzie: $7 \mid 2222^{5555} + 5555^{2222}$.
Răspuns final:
- Pentru orice număr natural $n$, $24 \mid (5n^2 + 3)(n^4 + 8)$.
- $7 \mid 2222^{5555} + 5555^{2222}$.